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Hyperebene, Skalarprodukt: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 01:05 Mi 06.07.2016
Autor: impliziteFunktion

Aufgabe
Wir betrachten [mm] $\mathbb{R}^n$ [/mm] mit dem Standard-Skalarprodukt und bezeichnen mit $X$ die Menge aller affinen Hyperebenen im [mm] $\mathbb{R}^n$, [/mm] also Mengen der Form

[mm] $H_{v,x}=\{y\in\mathbb{R}^n:\langle v,x\rangle=\lange v,y\rangle\}$ [/mm] mit [mm] $v,x\in\mathbb{R}^n$ [/mm] und [mm] $v\neq [/mm] 0$. Für jedes [mm] $p\in\mathbb{R}^n$ [/mm] sei [mm] $U_p=\{H\in X:p\notin H\}$ [/mm] und [mm] $\phi_p(H)\in\mathbb{R}^n$ [/mm] der Fusspunkt des Lotes von $p$ auf $H$.

a) Bestimmen Sie [mm] $\phi_p(U_p)$ [/mm] und zeigen Sie, dass [mm] $\phi_p^{-1}(x)=H_{p-x,x}$ [/mm] für alle [mm] $p,x\in\mathbb{R}^n$ [/mm]

b) Geben Sie eine Formel für [mm] $\phi_p(H_{v,x})$ [/mm] für alle [mm] $p,v,x\in\mathbb{R}^n$ [/mm] an.

Hallo,

ich habe eine Frage zu dieser Aufgabe.
Bei a) soll ich den Fusspunkt des Lotes von $p$ auf [mm] $U_p$ [/mm] bestimmen.  Also

[mm] $\phi_p(U_p)$ [/mm] dies ist doch anschaulich der Vektor, welcher Senkrecht auf [mm] $U_p$ [/mm] steht, oder?

Was ist hier zu tun?
Da [mm] $\phi_p^{-1}(x)$ [/mm] gesucht ist, muss [mm] $\phi_p$ [/mm] doch eine Funktion sein, oder?

Vielen Dank im voraus.

        
Bezug
Hyperebene, Skalarprodukt: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 05:51 Mi 06.07.2016
Autor: fred97


> Wir betrachten [mm]\mathbb{R}^n[/mm] mit dem Standard-Skalarprodukt
> und bezeichnen mit [mm]X[/mm] die Menge aller affinen Hyperebenen im
> [mm]\mathbb{R}^n[/mm], also Mengen der Form
>  
> [mm]H_{v,x}=\{y\in\mathbb{R}^n:\langle v,x\rangle=\lange v,y\rangle\}[/mm]
> mit [mm]v,x\in\mathbb{R}^n[/mm] und [mm]v\neq 0[/mm]. Für jedes
> [mm]p\in\mathbb{R}^n[/mm] sei [mm]U_p=\{H\in X:p\notin H\}[/mm] und
> [mm]\phi_p(H)\in\mathbb{R}^n[/mm] der Fusspunkt des Lotes von [mm]p[/mm] auf
> [mm]H[/mm].
>  
> a) Bestimmen Sie [mm]\phi_p(U_p)[/mm] und zeigen Sie, dass
> [mm]\phi_p^{-1}(x)=H_{p-x,x}[/mm] für alle [mm]p,x\in\mathbb{R}^n[/mm]
>  
> b) Geben Sie eine Formel für [mm]\phi_p(H_{v,x})[/mm] für alle
> [mm]p,v,x\in\mathbb{R}^n[/mm] an.
>  Hallo,
>  
> ich habe eine Frage zu dieser Aufgabe.
>  Bei a) soll ich den Fusspunkt des Lotes von [mm]p[/mm] auf [mm]U_p[/mm]
> bestimmen.

Nein. Du sollst den Fusspunkt des Lotes von [mm]p[/mm] auf [mm]H[/mm] bestimmen.





>  Also
>  
> [mm]\phi_p(U_p)[/mm] dies ist doch anschaulich der Vektor, welcher
> Senkrecht auf [mm]U_p[/mm] steht, oder?


Nein. [mm]\phi_p(H)[/mm]  ist  anschaulich der Vektor, welcher
senkrecht auf [mm]H[/mm] steht.

>  
> Was ist hier zu tun?
>  Da [mm]\phi_p^{-1}(x)[/mm] gesucht ist, muss [mm]\phi_p[/mm] doch eine
> Funktion sein, oder?


Ja, und zwar:  [mm] \phi_p:X \to \IR^n. [/mm]

FRED

>
> Vielen Dank im voraus.


Bezug
                
Bezug
Hyperebene, Skalarprodukt: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:41 Mi 06.07.2016
Autor: impliziteFunktion


> Nein. $ [mm] \phi_p(H) [/mm] $  ist  anschaulich der Vektor, welcher
> senkrecht auf H steht.

Ja, aber in Aufgabenteil a) ist doch nach [mm] $\phi_p(U_p)$ [/mm] gefragt. Also der Vektor welcher senkrecht auf [mm] $U_p$ [/mm] steht, oder?

> Du sollst den Fusspunkt des Lotes von p auf H bestimmen.

Gibt es dafür eine spezielle Vorgehensweise?

Bezug
                        
Bezug
Hyperebene, Skalarprodukt: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:12 Mi 06.07.2016
Autor: fred97


> > Nein. [mm]\phi_p(H)[/mm]  ist  anschaulich der Vektor, welcher
> > senkrecht auf H steht.
>
> Ja, aber in Aufgabenteil a) ist doch nach [mm]\phi_p(U_p)[/mm]
> gefragt. Also der Vektor welcher senkrecht auf [mm]U_p[/mm] steht,
> oder?

[mm] U_p [/mm] und [mm]\phi_p(U_p)[/mm]  sind doch Mengen !!


>  
> > Du sollst den Fusspunkt des Lotes von p auf H bestimmen.

Bestimme die Gerade g durch p, die senkrecht auf H steht. Bestimme den Schnittpunkt von g und H.

FRED

>  
> Gibt es dafür eine spezielle Vorgehensweise?


Bezug
                                
Bezug
Hyperebene, Skalarprodukt: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 16:22 Mi 06.07.2016
Autor: impliziteFunktion

Soll $H$ eine beliebige Hyperebene sein?

Ich weiß leider nicht, wie ich diese Gerade $g$ angeben soll.

Bezug
                                        
Bezug
Hyperebene, Skalarprodukt: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:20 Fr 08.07.2016
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
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