matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenmathematische StatistikHypothesentest - W'keit Ablehn
Foren für weitere Studienfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Astronomie • Medizin • Elektrotechnik • Maschinenbau • Bauingenieurwesen • Jura • Psychologie • Geowissenschaften
Forum "mathematische Statistik" - Hypothesentest - W'keit Ablehn
Hypothesentest - W'keit Ablehn < math. Statistik < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "mathematische Statistik"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Hypothesentest - W'keit Ablehn: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 06:52 Mo 17.04.2017
Autor: ChopSuey

Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

Aufgabe
In einem Betrieb werden zylinderförmige Aluminiumbolzen hergestellt, deren Durchmesser (in mm) durch unabhängige $ N(\mu, \sigma^2)$-verteilte Zufallsvariablen mit $ \sigma^2 = 1.21 mm^2 $ beschrieben werden können. Aufgrund einer Stichprobe vom Umfang 16 soll die Nullhypothese $ H_0 : \mu = 20$ gegen die Alternative $ \mu < 20$ auf dem Niveau $ 10$% getestet werden. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für eine Ablehnung der Nullhypothese, wenn tatsächlich gilt

a) $ \mu = 19.6 $ mm
b) $ \mu = 20.1 $ mm



Hallo,

bei obiger Aufgabe bräuchte ich Hilfe. Zunächst handelt es sich bei der Hypothese $ H_0$ doch um einen gewöhnlichen (zweiseitigen) Gaußtest. Die Hypothese $ H_0$ wird dementsprechend abgelehnt, wenn für die Testgröße

$ T(X_1,...,X_{16}) = \frac{\sqrt{n}}{\sigma}(\overline{X}_{16} - \mu_0)$

gilt, dass

$ \vert T(X_1,...,X_{16}) \vert > u_{1-\frac{a}{2}} $ wobei $u_{1-\frac{a}{2}}$ das $ u_p$ Quantil der $ N(0,1)$ Verteilung ist.

Für das Niveau $ a = 0.1$ ist dann $ u_p = u_{0.95} = 1.645$

Also suche ich die Wahrscheinlichkeit dafür, dass

$P(  \vert T(X_1,...,X_{16}) \vert > 1.645) $

Stimmen meine Überlegungen denn soweit?

Ich habe folgendermaßen weitergemacht:

Die Zufallsvariable $ Z =  \frac{\sqrt{n}}{\sigma}(\overline{X}_{16} - \mu_0)$ ist $ N\left(\frac{\sqrt{n}}{\sigma}(\mu - \mu_0), 1\right) $ verteilt.

Also ist

$P(  \vert T(X_1,...,X_{16}) \vert > 1.645) = P\left(  \left\vert  \frac{\sqrt{n}}{\sigma}(\overline{X}_{16} - \mu_0) \right\vert > 1.645\right) = P( \vert Z \vert  > 1.645) = P( -1.645 < Z < 1.645) = \phi\left(1.645 - \frac{\mu - \mu_0}{\sqrt{n}}\right) - \phi\left(-1.645 - \frac{\mu - \mu_0}{\sqrt{n}\right) = \phi\left(1.645 - \frac{\mu - 20}{\sqrt{1.21}}\right)  -\phi\left(-1.645 - \frac{\mu - 20}{\sqrt{1.21}}\right) $

Dann entsprechend die Ergebnisse für $ \mu = 19.6$ und $ \mu = 20.1$ aus der Tabelle entnommen.

Aber leider wird in der Lösung anders gearbeitet und auch die Ergebnisse sind entsprechend andere. Kann mir jemand sagen, wo ich den Fehler mache?

Freue mich über jede Hilfe!

Vielen Dank

LG,
Chopsuey

        
Bezug
Hypothesentest - W'keit Ablehn: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:44 Mo 17.04.2017
Autor: donquijote

Hallo,
soweit ich es überblicke, sind deine Überlegungen grundsätzlich in Ordnung. Allerdings wird in der Aufgabenstellung mit der Alternative [mm]\mu < 20[/mm] ein einseitiger Test betrachtet.

> In einem Betrieb werden zylinderförmige Aluminiumbolzen
> hergestellt, deren Durchmesser (in mm) durch unabhängige
> [mm]N(\mu, \sigma^2)[/mm]-verteilte Zufallsvariablen mit [mm]\sigma^2 = 1.21 mm^2[/mm]
> beschrieben werden können. Aufgrund einer Stichprobe vom
> Umfang 16 soll die Nullhypothese [mm]H_0 : \mu = 20[/mm] gegen die
> Alternative [mm]\mu < 20[/mm] auf dem Niveau [mm]10[/mm]% getestet werden.
> Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für eine Ablehnung
> der Nullhypothese, wenn tatsächlich gilt
>  
> a) [mm]\mu = 19.6[/mm] mm
>  b) [mm]\mu = 20.1[/mm] mm
>  
>
> Hallo,
>  
> bei obiger Aufgabe bräuchte ich Hilfe. Zunächst handelt
> es sich bei der Hypothese [mm]H_0[/mm] doch um einen gewöhnlichen
> (zweiseitigen) Gaußtest. Die Hypothese [mm]H_0[/mm] wird
> dementsprechend abgelehnt, wenn für die Testgröße
>  
> [mm]T(X_1,...,X_{16}) = \frac{\sqrt{n}}{\sigma}(\overline{X}_{16} - \mu_0)[/mm]
>  
> gilt, dass
>
> [mm]\vert T(X_1,...,X_{16}) \vert > u_{1-\frac{a}{2}}[/mm] wobei
> [mm]u_{1-\frac{a}{2}}[/mm] das [mm]u_p[/mm] Quantil der [mm]N(0,1)[/mm] Verteilung
> ist.
>  
> Für das Niveau [mm]a = 0.1[/mm] ist dann [mm]u_p = u_{0.95} = 1.645[/mm]
>  
> Also suche ich die Wahrscheinlichkeit dafür, dass
>
> [mm]P( \vert T(X_1,...,X_{16}) \vert > 1.645)[/mm]

Gefragt wäre hier
[mm]P( T(X_1,...,X_{16}) < -u_{0.9})[/mm]
und damit müsste entsprechend weitergerechnet werden.

>  
> Stimmen meine Überlegungen denn soweit?
>  
> Ich habe folgendermaßen weitergemacht:
>  
> Die Zufallsvariable [mm]Z = \frac{\sqrt{n}}{\sigma}(\overline{X}_{16} - \mu_0)[/mm]
> ist [mm]N\left(\frac{\sqrt{n}}{\sigma}(\mu - \mu_0), 1\right)[/mm]
> verteilt.
>  
> Also ist
>
> [mm]P( \vert T(X_1,...,X_{16}) \vert > 1.645) = P\left( \left\vert \frac{\sqrt{n}}{\sigma}(\overline{X}_{16} - \mu_0) \right\vert > 1.645\right) = P( \vert Z \vert > 1.645) = P( -1.645 < Z < 1.645) = \phi\left(1.645 - \frac{\mu - \mu_0}{\sqrt{n}}\right) - \phi\left(-1.645 - \frac{\mu - \mu_0}{\sqrt{n}\right) = \phi\left(1.645 - \frac{\mu - 20}{\sqrt{1.21}}\right) -\phi\left(-1.645 - \frac{\mu - 20}{\sqrt{1.21}}\right)[/mm]
>  
> Dann entsprechend die Ergebnisse für [mm]\mu = 19.6[/mm] und [mm]\mu = 20.1[/mm]
> aus der Tabelle entnommen.
>  
> Aber leider wird in der Lösung anders gearbeitet und auch
> die Ergebnisse sind entsprechend andere. Kann mir jemand
> sagen, wo ich den Fehler mache?
>  
> Freue mich über jede Hilfe!
>  
> Vielen Dank
>  
> LG,
>  Chopsuey


Bezug
                
Bezug
Hypothesentest - W'keit Ablehn: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:23 Mo 17.04.2017
Autor: ChopSuey

Hallo donquijote,

vielen Dank für die Rückmeldung.

> Hallo,
>  soweit ich es überblicke, sind deine Überlegungen
> grundsätzlich in Ordnung. Allerdings wird in der
> Aufgabenstellung mit der Alternative [mm]\mu < 20[/mm] ein
> einseitiger Test betrachtet.
>  

Das würde sich auch mit der Lösung decken. Was ich bloß noch nicht ganz verstanden habe, ist, welche Information mir im Wesentlichen die Antwort auf die Frage liefert, ob ich es mit einem einseitigen oder einem zweiseitgen Hypothesentest zu tun habe.

Ich habe fälschlicherweise angenommen, dass wenn nach $ [mm] H_0: \mu [/mm] = 20 $ gefragt ist, es sich um einen zweiseitigen Hypothesentest handeln muss. Nun wird in dieser Aufgabe ja die Alternativhypothese $ [mm] H_1: \mu [/mm] < 20 $ für den einseitigen Test betrachtet.

Ich bin also ein wenig durcheinander und werde aus meinen Unterlagen leider auch noch nicht so ganz schlau.

Hat das also primär garnichts mit der Nullhypothese bzw der Alternative zu tun sondern richtet sich nur danach ob

a) $ [mm] H_0: \mu [/mm] = [mm] \mu_0$ [/mm] vs $ [mm] H_1: \mu \not= \mu_0 [/mm] $ (zweiseitig)

b) $ [mm] H_0: \mu [/mm] = [mm] \mu_0$ [/mm] vs $ [mm] H_1: \mu [/mm] < [mm] \mu_0$ [/mm] bzw $ [mm] H_1: \mu [/mm] > [mm] \mu_0 [/mm] $(einseitig)

stimmt das dann so? Also schaue ich mir garnicht die Nullhypothese an sondern vielmehr die Alternative?

Vielen Dank für die Hilfe!

LG,
ChopSuey

Bezug
                        
Bezug
Hypothesentest - W'keit Ablehn: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:12 Mo 17.04.2017
Autor: luis52

Moin Chop, die "Seitigkeit" wird durch die Entscheidungsregel des Tests bestimmt, und zwar aus der Sicht der *Gegenhypothese*.  Die Hypothese $ [mm] H_0: \mu [/mm] = [mm] \mu_0 [/mm] $ vs $ [mm] H_1: \mu \not= \mu_0 [/mm] $ kann auch einseitig geprueft werden, und zwar indem du mit $ [mm] \vert T(X_1,...,X_{16}) \vert$ [/mm] arbeitest.  Die Ablehnung von [mm] $H_0$ [/mm] erfolgt, wenn $ [mm] \vert T(X_1,...,X_{16}) \vert> u_{1-\frac{a}{2}}$ [/mm] (einseitig) oder, aequivalent, $ [mm] T(X_1,...,X_{16}) <-u_{1-\frac{a}{2}}$ [/mm] oder $ [mm] T(X_1,...,X_{16}) >u_{1-\frac{a}{2}}$ [/mm] (zweiseitig).

In "deiner" Aufgabe lautet aber die Gegenhypothese [mm] $H_0: \mu [/mm] < 20 $   und wird abgelehnt, wenn  [mm] $T(X_1,...,X_{16}) [/mm]   < [mm] -u_{1-\alpha} [/mm] $, also einseitig. Eine zweiseitige Version faellt mir jetzt nicht oder waere zu gekuenstelt.


Bezug
                                
Bezug
Hypothesentest - W'keit Ablehn: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:48 Mo 17.04.2017
Autor: ChopSuey

Moin Luis,

großartig! Danke für die tolle Erklärung. Das hilft mir wirklich sehr und ich konnte das leider aus meinen Unterlagen nicht so ganz entnehmen.

Super! Danke vielmals.

LG,
ChopSuey

Bezug
                                
Bezug
Hypothesentest - W'keit Ablehn: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:50 Mi 19.04.2017
Autor: ChopSuey

Hallo,

ich habe nochmal eine Frage zum Ablehnungsbereich. Ich bin ein wenig durcheinander, weil ich (wenn ich nichts übersehe - was ich aber glaube) widersprüchliche Informationen in meinem Buch und im Internet finde.

Insbesondere bei dieser Aufgabe bin ich deshalb durcheinander gekommen. In meinem Buch heißt es, dass beim Gauß-Test die Hypothese $ [mm] H_0 [/mm] : [mm] \mu \le \mu_0$ [/mm] abgelehnt wird wenn $ T > [mm] u_{1-\alpha}$ [/mm] und $ [mm] H_0 [/mm] : [mm] \mu \ge \mu_0$ [/mm] wird abgelehnt wenn $ T < [mm] u_{\alpha}$ [/mm]

Nun habe ich hier ein Skript in dem heißt es "Ablehnung von $ [mm] H_0$ [/mm] bei einseitiger Alternative

$ [mm] H_A [/mm] : [mm] \mu [/mm] < [mm] \mu_0 [/mm] $ wenn $ T < [mm] -u_{1-\alpha}$ [/mm]

$ [mm] H_A [/mm] : [mm] \mu [/mm] > [mm] \mu_0 [/mm] $ wenn $ T > [mm] u_{1-\alpha}$ [/mm]

Was sich ja auch mit dem Deckt, was Luis schrieb. Nur verstehe ich nicht ganz, wieso es in meinem Buch so anders beschrieben wird.

Kann mir jemand weiterhelfen?

Vielen Dank für jeden Hinweis!

LG,
ChopSuey

Bezug
                                        
Bezug
Hypothesentest - W'keit Ablehn: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:23 Do 20.04.2017
Autor: luis52


> Hallo,
>  
> ich habe nochmal eine Frage zum Ablehnungsbereich. Ich bin
> ein wenig durcheinander, weil ich (wenn ich nichts
> übersehe - was ich aber glaube) widersprüchliche
> Informationen in meinem Buch und im Internet finde.
>  
> Insbesondere bei dieser Aufgabe bin ich deshalb
> durcheinander gekommen. In meinem Buch heißt es, dass beim
> Gauß-Test die Hypothese [mm]H_0 : \mu \le \mu_0[/mm] abgelehnt wird
> wenn [mm]T > u_{1-\alpha}[/mm] und [mm]H_0 : \mu \ge \mu_0[/mm] wird
> abgelehnt wenn [mm]T < u_{\alpha}[/mm]
>  
> Nun habe ich hier ein Skript in dem heißt es "Ablehnung
> von [mm]H_0[/mm] bei einseitiger Alternative
>
> [mm]H_A : \mu < \mu_0[/mm] wenn [mm]T < -u_{1-\alpha}[/mm]
>  
> [mm]H_A : \mu > \mu_0[/mm] wenn [mm]T > u_{1-\alpha}[/mm]
>  
> Was sich ja auch mit dem Deckt, was Luis schrieb. Nur
> verstehe ich nicht ganz, wieso es in meinem Buch so anders
> beschrieben wird.
>  
> Kann mir jemand weiterhelfen?
>  
> Vielen Dank für jeden Hinweis!
>  
> LG,
>  ChopSuey

Moin Chop, ich sehe keinen Widerspruch. Die Gegenhypothese zu  $ [mm] H_0 [/mm] : [mm] \mu \ge \mu_0 [/mm] $ lautet   [mm]H_A : \mu < \mu_0[/mm]. [mm] $H_0$ [/mm] wird zugunsten von [mm] $H_A$ [/mm] abgelehnt wenn $ T < [mm] -u_{1-\alpha}=u_{\alpha} [/mm] $.


Bezug
                                                
Bezug
Hypothesentest - W'keit Ablehn: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:25 Do 20.04.2017
Autor: ChopSuey

Moin Luis,

ja stimmt! Vielen Dank für deine Hilfe [ok]

LG,
ChopSuey

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "mathematische Statistik"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


Alle Foren
Status vor 7h 22m 6. Ice-Man
USons/Lineares Gleichungssystem
Status vor 17h 46m 11. rabilein1
UStat/Wahrsch. eines Gedichtes
Status vor 21h 30m 8. chrisno
Mengenlehre/Mengenbestimmung von Objekten
Status vor 22h 24m 5. Melli1988
SExpLog/Bakterienwachstum
Status vor 1d 3h 32m 8. leduart
UAnaR1FolgReih/Weierstraß Approximationssatz
^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]