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Imaginäre Einheit (exakte Def): Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:54 Fr 07.07.2017
Autor: Psychopath

Aufgabe
Motivation fur ¨ die Einfuhrung ¨ der komplexen Zahlen ist das Bedurfnis, ¨ auch negative Zahlen zu radizieren. In der Literatur wird nach dieser Feststellung auch flugs die imaginäre Einheit i =√-1 eingefuhrt, wonach dann Multiplikation und Addition komplexer Zahlen “wie gewöhnlich” durchzufuhren und damit definiert sind. So banal und leicht verständlich diese Vorgehensweise erscheinen mag, schießt sie doch nicht nur genau an Pudels Kern vorbei, sondern ist dabei auch strenggenommen falsch. In der Vorlesung wurde bereits großer Wert darauf gelegt, daß man nicht einfach i =√−1 definieren kann, sondern daß man dies als eine beschreibende Eigenschaft von i zu deuten hat. Dies geht jedoch, auch weil es im Skript nicht so leicht als Formel gesetzt werden kann, häufig unter.
In dieser Aufgabe soll die Problematik bei der Einfuhrung ¨ der imaginären Einheit, und damit den komplexen Wurzeln insgesamt, beleuchtet werden. Ausgehend von der “Definition” der Zahl i als i := √-1 rechnen wir nämlich fix nach, daß

[mm] i^2 [/mm] = [mm] \wurzel{-1} *\wurzel{-1} [/mm] = [mm] \wurzel{(-1) * (-1)} [/mm] = [mm] \wurzel{1} [/mm] = 1

Freilich, so war das alles nicht gedacht. Was ist hier schiefgegangen? Ihre Aufgabe besteht jedenfalls darin, dies herauszufinden, genau auf den Punkt zu bringen und die Definition der imaginären Einheit in einer schlüssigen und korrekten Form darzulegen. Dies kann einiges an deklaratorischer Vorarbeit in Anspruch nehmen, so außerordentlich knapp wie i = √−1 werden Sie es nicht hinbekommen. Sie werden sich etwas mit Rechengesetzen und derlei Dingen auseinandersetzen mussen. ¨ Ich gebe Ihnen zwei Hinweise: mit [mm] i^2 [/mm] = −1 ist man schonmal auf einem guten Weg, jetzt gilt es darauf zu achten, diesen nicht zu verlassen. Zweitens gibt es fur ¨ kunstvoll schöpferisches Raten weder Punkte, noch lernen Sie etwas dabei. Vergessen Sie nicht, darzulegen, woran die obige Rechnung gescheitert ist!
Dies ist nämlich der wesentliche Punkt, den Sie verstanden haben sollten. Denn selbst mit einer sauberen Definition der imaginären Einheit, sind die befremdlichen Eigenschaften der komplexen Wurzeln nicht bereinigt.



Gut, die Aufgabe ist klar:

i = [mm] \wurzel{-1} [/mm] muß falsch sein, denn i ist in der Gauschen Ebene ein Punkt (bzw. Pfeil) aber eine Komplexe Quadratwurzel hat ZWEI Lösungen (i und -i in diesem Fall).

Bisher glaubte ich immer, das falsche Ergebnis in der obigen Herleitung kommt zustande, weil im komplexen die Wurzelgesetze nicht gelten. Es scheint aber eher mit der Definition der imaginären Einheit zusammen zu hängen. Also wie lautet eine saubere Definition von i in der Form:

i = ....





P.S.
Hab den Text geändert, da das MINUSZEICHEN falsch dargestellt wurde.

        
Bezug
Imaginäre Einheit (exakte Def): Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:32 Fr 07.07.2017
Autor: Leopold_Gast

Warum so viel Geschwurbel? Man gibt dem [mm]\mathbb{R}^2[/mm] in bekannter Weise eine multiplikative Struktur, so daß man einen Körper erhält, und nennt das Ganze nicht mehr [mm]\mathbb{R}^2[/mm], sondern [mm]\mathbb{C}[/mm]. In [mm]\mathbb{C}[/mm] findet man ein isormorphes Bild von [mm]\mathbb{R}[/mm], das man mit [mm]\mathbb{R}[/mm] identifiziert. Und, wie es der Zufall will, gibt es in [mm]\mathbb{C}[/mm] ein spezielles Objekt, das mit [mm]\operatorname{i}[/mm] bezeichnet wird, für das [mm]\operatorname{i}^2 = -1[/mm] gilt. Ontologische Fragen zu [mm]\operatorname{i}[/mm] sind damit obsolet.
Du selbst redest von der Gaußschen Zahlenebene, kennst also diesen Zugang.

Bezug
                
Bezug
Imaginäre Einheit (exakte Def): Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:40 Fr 07.07.2017
Autor: Psychopath

1.
Vielen Dank, das "Geschwurbel" ist die Original-Aufgabenstellung des Lehrers/Professors, die man in diesem Forum gewöhnlich per Copy-Paste einfügen soll. Genau das habe ich gemacht.

2.
Ja, mir ist klar, was ein Körpererweiterung von R nach C ist, aber eben das will der Professor nicht. Er will eine einfache Definition der Art  i= ....
wobei die übliche Definition i= [mm] \wurzel{-1} [/mm] falsch ist, denn sie widerspricht der Tatsache, dass Wurzeln im komplexen ZWEI Werte haben.

Daher nochmal die gleiche Frage. Vielleicht hat jemand eine Idee.
Vom Bauch her würde ich sagen, dass i irgendwie der Hauptwert von [mm] \wurzel{-1} [/mm] ist.



Bezug
                        
Bezug
Imaginäre Einheit (exakte Def): Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:58 Fr 07.07.2017
Autor: abakus

Soweit ich weiß, wird das Paar reeller Zahlen (a,b) als komplexe Zahl definiert.
Und das Paar (0;1) nennt man i.
Das Paar (a;0) nennt man reelle Zahl a.
Die Erklärung der Multiplikation
(a;b)*(c;d)=(ac-bd;bc+ad) führt zu der wundersamen Erkenntnis, dass
(0;1)*(0;1)=(-1;0) = -1 ist.

Bezug
        
Bezug
Imaginäre Einheit (exakte Def): Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:46 Fr 07.07.2017
Autor: Al-Chwarizmi

Ich habe während meiner Lehrtätigkeit die komplexen Zahlen oft auf relativ "naive" Weise eingeführt. Dabei habe ich aber bewusst stets darauf verzichtet, so etwas wie  i := √(-1)  zu schreiben oder zu behaupten, weil Wurzelterme ja oft auch schon im Bereich der reellen Zahlen zu Konflikten und oft endlosen und unfruchtbaren Diskussionen führen.

Man kann aber sehr gut vom Rechnen im Bereich der reellen Zahlen ausgehen und etwa die Problematik der Unlösbarkeit von Gleichungen der Form  [mm] x^2 [/mm] + t = 0   (mit t>0)  zum Anlass nehmen, erst mal versuchsweise ein abstraktes Hilfsobjekt  i  zu postulieren, für welches die Gleichung  [mm] i^2 [/mm] = -1  erfüllt sein soll.  Davon ausgehend kann man sich dann weiter überlegen, welche Eigenschaften man etwa weiteren Objekten wie   3*i ,  4+i ,   5-2i   etc.  zuschreiben müsste, damit alles einigermaßen zusammenpasst. Man kann also zuerst mal spielerisch versuchen, was sich so ergibt, wenn man durch Addition und Multiplikation aus reellen Zahlen mit i zusammen weitere "zusdammengesetzte" (komplexe)  Terme der Form   a + b*i  bildet und dann versucht, mit diesen zu rechnen.  Es zeigt sich, dass dieses "Spiel"  offenbar nicht ganz sinnlos ist, denn man sieht, dass solche Gesetze wie Kommutativ- und Assoziativgesetze und  Distributivgesetz auch für diese neu eingeführten komplexen Objekte erfüllt sind.
So erhält das anfängliche Spiel schließlich Hand und Fuß, und man kann die damit entstandene neue Struktur nun algebraisch als Zahlkörper beschreiben.

Die Gleichung  [mm] z^2 [/mm] = -1  hat in dem neuen Zahlbereich die Lösung  z1 = i   (weil wir ja für i diese Eigenschaft von vornherein verlangt hatten).  Daneben erfüllt aber auch die  Zahl  z2 = -i  dieselbe Gleichung.  

Trotzdem würde ich weder √(-1) = i  noch  √(-1) = -i  schreiben, aus den schon oben genannten Gründen.

Man kann aber im Ganzen eine besondere Symmetrie des neuen Zahlenbereichs  [mm] \IC [/mm]  erkennen:  i und -i  sind so etwas wie "eineiige Zwillinge". Sie haben exakt dieselben Eigenschaften. Ihr einziger Unterschied besteht darin, dass sie voneinander verschieden sind !  Vertauscht man in irgendwelchem Zusammenhang im Bereich der komplexen Zahlen durchgehend die Rollen von i und -i , ersetzt man also jeden Zahlenwert durch seinen komplex konjugierten Wert, so bleiben alle weiteren Schlussfolgerungen komplett erhalten.        

Bezug
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