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| Aufgabe | Ein Mann befindet sich mitten in der Wüste mit einem Vorrat von 1000 Flaschen Trinkwasser. Er kann maximal 100 davon gleichzeitig tragen und muss für jeden gelaufenen Kilometer eine Flasche Wasser trinken.
Welche Wegstrecke kann er mit seinem Wasservorrat maximal zurücklegen? |
Hallo liebe Antwortenden,
zur Abwechslung gibt es mal eine Frage von mir. Diese Frage stammt aus keiner Klausur und wurde vermutlich schon in ähnlicher Form einmal im MatheRaum gestellt.
Mir ist klar, dass einfach 100 Flaschen nehmen und dann loslaufen nicht die optimale Strategie ist. Ich vermute durch herumprobieren, dass die maximale Reichweite bei etwa 215 bis 220 Kilometern liegt.
Dazu nimmt der Mann 100 Flaschen und deponiert einen Teil davon nach einer gewissen Wegstrecke, läuft zurück und holt mehr Wasser und so weiter. Irgendwann hat er dann nur noch 100 Flaschen, mit denen er losläuft. Je nach Länge der Wegstrecke bleibt ihm mehr oder weniger Wasser übrig.
Legt er z.B. alle 40km eine neue Lagerstätte an, braucht er zum hin- und wieder zurücklaufen 80 Flaschen, so dass er nur 20 deponieren kann. Legt er jeden Kilometer ein neues Depot an, so verbraucht er nur 2 Flaschen und kann die übrigen 98 deponieren. Je kürzer man diese Wegstrecke wählt, desto effektiver kann er die maximale Nutzlast von 100 Flaschen ausnutzen.
Meine erste Frage ist nun, wie ich den Grenzwert der Reichweite bestimmen kann, wenn man die Entfernung zwischen dem bisherigen und dem neuen Wasserdepot gegen Null gehen lässt.
Meine zweite Frage ist, ob es eine Gleichung gibt, die den Zusammenhang zwischen den Zahlen 'Wasservorrat', 'maximale Traglast', 'Wasserverbrauch pro Kilometer' und 'maximale Reichweite' beschreibt.
Obwohl die Situation der Frage relativ einfach ist, habe ich keine Ahnung, durch welche Herangehensweise wie ich diese beiden Fragen beantworten könnte.
Ich hoffe auf zahlreiche Antworten von euch,
Hugo
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:20 Sa 28.01.2006 | | Autor: | moudi |
Hallo Hugo
Zurücklegen kann er 1000 km. Aber wohl gefragt ist, wie weit er sich von seinem Standort entfernen kann.
Ein Problem habe ich, was mit angebrochenen Flaschen passiert, kann er diese zu den 100 vollen zusätzlich tragen oder nicht. Falls nicht, scheint mir das ganze ein diskretes Problem zu sein, das nicht durch eine DGL gelöst werden kann.
mfG Moudi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:32 Sa 28.01.2006 | | Autor: | moudi |
Hallo Hugo
Ich habe mir folgendes überlegt, wenn er die 1000 Flaschen fortbringen will, so muss er mindestens mit rückweg 19 mal eine Strecke zurücklegen.
So würde ich nach [mm] $a_1=100/19$ [/mm] km ein Depot anlegen. Dann kann er 900 Flaschen bis nach [mm] $a_1$ [/mm] bringen um genau 100 Flaschen zu verbrauchen. Das nächste Depot würde ich nach [mm] $a_2=100/17$ [/mm] km anlegen und ich verbrauche wieder 100 Flaschen um 800 dorthin zu bringen.
Total könnte ich mich dann
[mm] $\frac{100}{19}+\frac{100}{17}+\frac{100}{15}+\ldots+\frac{100}{3}+\frac{100}{1}=213.3$ [/mm] km
vom Lager entfernen.
PS. Vielleicht ist es eher ein Problem der angebrochenen Kilometer, als ein Problem der angebrochenen Flaschen.
mfG Moudi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:39 Sa 28.01.2006 | | Autor: | bastet |
hi!
was haltet ihr davon wenn er 1000km zurücklegt indem er sich einfach rund einen meter vonseinem flaschendepot entfernt, sich umdreht, das deot in die gewünschte richtung verlagert und dann 2 meter in eben diese richtung geht? das macht er dann so lange bis er irgendwo verdurstet liegen bleibt (nach 1000 km), in der nacht erfroren ist, sonst irgendwie umgekommen ist oder von einheimischen gerettet wurde oder das ende der wüste oder so erreicht hat. nach jedem km kan er dann seine flasche trinken.
wär doch mal funny, oder?
Gruß! bastet
nach jedem km
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Hallo Moudi, hallo Melanie,
das mit dem immer wieder umdrehen ist eine gute Idee, aber das verbiete ich jetzt einfach. Angebrochene Flaschen sind zulässig. Der Mann kann angebrochene in eine neue Flasche zusammenfüllen. Dass er 1000 km zurücklegen kann ist klar, die Frage hätte ich besser formulieren sollen.
Danke für Idee mit den gebrochenen Kilometerzahlen. Ich war wie vernagelt und habe mimer überlegt, wie ich den Wechsel von 19 auf 17 mal Laufen vernünftig umsetzen kann.
Ich denke mal, die Lösung 213,3 Kilometer ist die optimale. Dann hat sich das mit der DGL erledigt, es gibt nämlich analog zu Moudis Lösung eine optimale Strategie für alle Situationen.
Hugo
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Hallo zusammen,
ich bezeichne mit
[mm] $M_0$ [/mm] die anfangs vorhandene Wassermenge,
[mm] $M_i$ [/mm] die Wassermenge im i-ten neuen Depot
$K$ die Transportkapazität des Mannes,
$v$ den Verbrauch des Mannes pro Kilometer.
Das größte Problem bei dieser Aufgabe ist der Moment, wenn man zum vollständigen Weitertransport des Lagers zwei Wege weniger als vorher laufen muss. Das passiert genau dann, wenn sich der ganzzahlige Anteil von [mm] $\frac{M_i}{K}$ [/mm] verändert. Ich nehme zur Vereinfachung an, dass [mm] $M_0$ [/mm] ein ganzzahliges Vielfaches von $K$ ist.
Wenn gilt, [mm] $\frac{M_0}{K}=n$, [/mm] dann muss man zum vollständigen Weitertransport des Depots $(2n-1)$-mal laufen. Wenn das neue Depot in $d$ Kilometer Entfernung zum ersten aufgebaut wird, dann braucht der Mann dazu $(2n-1)dv$ Flaschen Wasser, falls die Wegstrecke zwischen den Depots [mm] $d=\frac{K}{(2n-1)v}$ [/mm] Kilometer lang ist. Dann ist das Lager nach $n$ Transporten vollständig weitergewandert.
Die maximale Reichweite ist in einer solchen Situation
[mm] $\frac{K}{v}\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{2i-1}$.
[/mm]
(Danke Moudi.  )
Was man macht, wenn [mm] $M_0$ [/mm] kein ganzzahliges Vielfaches von $K$ ist, weiß ich nicht, aber das ist auch nicht so schlimm...
Danke für eure Antworten, ihr habt mir sehr weitergeholfen.
Hugo
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