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Induktion: Bitte um einen Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:52 Fr 30.09.2016
Autor: Franzi17

An welcher Stelle im folgenden “Beweis” steckt der Fehler? Begründen Sie Ihre Antwort! Behauptung: Für jede ganze Zahl n ≥ 0 gilt [mm] $2^n [/mm] = 1$. Beweis: Der Beweis ist per Induktion. Die Aussage stimmt für n = 0, da [mm] $2^0 [/mm] = 1$ per Definition. Somit ist die Induktionsverankerung bewiesen. Nun kommen wir zum Induktionsschritt. Wir nehmen also n ≥ 0 an und dass [mm] $2^k [/mm] = 1$ für alle 0 ≤ k ≤ n gilt. Wir möchten [mm] $2^{n+1} [/mm] = 1$ nachweisen. Es gilt [mm] $2^{n+1} [/mm] = [mm] \br{2 ^{2n}} {2^{n-1}} [/mm] = [mm] \br{2^n \cdot 2^n} {2^{n-1}} [/mm] = [mm] \br{1 \cdot 1} [/mm] {1} = 1$, wobei die ersten zwei Gleichungen aus elementaren Rechenoperationen folgen und die dritte Gleichheit eine Konsequenz der Induktionsannahme [mm] $2^n [/mm] = [mm] 2^{n-1} [/mm] = 1$ ist.

Hallo! Dass der Beweis verkehrt ist, sehe ich, aber ich kann den Fehler in der Induktion nicht finden. Hat jemand bitte einen Tipp für mich? Danke!!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Induktion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:58 Fr 30.09.2016
Autor: Al-Chwarizmi


> An welcher Stelle im folgenden “Beweis” steckt der
> Fehler? Begründen Sie Ihre Antwort! Behauptung: Für jede
> ganze Zahl n ≥ 0 gilt [mm]2^n[/mm] = 1. Beweis: Der Beweis ist per
> Induktion. Die Aussage stimmt für n = 0, da [mm]2^0[/mm] = 1 per
> Definition. Somit ist die Induktionsverankerung bewiesen.
> Nun kommen wir zum Induktionsschritt. Wir nehmen also n ≥
> 0 an und dass [mm]2^k[/mm] = 1 für alle 0 ≤ k ≤ n gilt. Wir
> möchten [mm]2^n+1[/mm] = 1 nachweisen. Es gilt [mm]2^n+1[/mm] =
> [mm]2x2^n/2^n−1[/mm] = [mm]2^n ·2^n/ 2^n−1[/mm] = 1·1/1 = 1, wobei die
> ersten zwei Gleichungen aus elementaren Rechenoperationen
> folgen und die dritte Gleichheit eine Konsquenz der
> Induktionsannahme [mm]2^n[/mm] = [mm]2^n−1[/mm] = 1 ist.
>  Hallo! Dass der Beweis verkehrt ist, sehe ich, aber ich
> kann den Fehler in der Induktion nicht finden. Hat jemand
> bitte einen Tipp für mich? Danke!!



Guten Abend Franzi17

       [willkommenmr]

damit man das alles richtig lesen kann, solltest du es zuerst
mittels  $\ T_EX$  korrekt schreiben.
Insbesondere musst du Exponenten, die aus mehr als einem einzigen
Zeichen bestehen, zwischen geschweifte Klammern setzen.
Also zum Beispiel:

    [mm]2^{n+1}[/mm] = 1       anstatt      [mm]2^n+1[/mm] = 1

Andernfalls ist das unlesbar oder besser gesagt einfach falsch.

LG  ,    Al-Chw.


Bezug
                
Bezug
Induktion: Korrektur
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:20 Fr 30.09.2016
Autor: Franzi17

An welcher Stelle im folgenden “Beweis” steckt der Fehler? Begründen Sie Ihre Antwort! Behauptung: Für jede ganze Zahl n ≥ 0 gilt [mm] $2^n [/mm] = 1$. Beweis: Der Beweis ist per Induktion. Die Aussage stimmt für n = 0, da [mm] $2^0 [/mm] = 1$ per Definition. Somit ist die Induktionsverankerung bewiesen. Nun kommen wir zum Induktionsschritt. Wir nehmen also n ≥ 0 an und dass [mm] $2^k [/mm] = 1$ für alle 0 ≤ k ≤ n gilt. Wir möchten [mm] $2^{n+1} [/mm] = 1$ nachweisen. Es gilt [mm] $2^{n+1} [/mm] = [mm] \br{2 ^{2n}} {2^{n-1}} [/mm] = [mm] \br{2^n \cdot 2^n} {2^{n-1}} [/mm] = [mm] \br{1 \cdot 1} [/mm] {1} = 1$, wobei die ersten zwei Gleichungen aus elementaren Rechenoperationen folgen und die dritte Gleichheit eine Konsequenz der Induktionsannahme [mm] $2^n [/mm] = [mm] 2^{n-1} [/mm] = 1$ ist.

Bezug
                        
Bezug
Induktion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:44 Fr 30.09.2016
Autor: chrisno

Hallo,

ich habe mal an der Darstellung gearbeitet. Allerdings ist mir die Bedeutung der schrägen Striche nicht klar geworden. Sollen es Bruchstriche sein?

Bezug
                                
Bezug
Induktion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:53 Fr 30.09.2016
Autor: Franzi17

Hallo, danke, ja, das sind Bruchstriche.

Bezug
                                        
Bezug
Induktion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:24 Fr 30.09.2016
Autor: chrisno

Stimmt es nun so? Ich vermute, dass hinter dem ersten Gleichheitszeichen kein Bruch sondern nur $2 [mm] \cdot 2^n$ [/mm] stehen soll. Sonst kann ich die Begründung für das erste Gleichheitszeichen noch nicht nachvollziehen. Das ist aber nicht der Kern des Problems.

Bezug
                                                
Bezug
Induktion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:54 Fr 30.09.2016
Autor: Franzi17

Oja, da war noch ein Fehler, sorry, es sollte 2 hoch (2n) heissen, ich habe es ausgebessert. Vielen Dank!

Bezug
                                                        
Bezug
Induktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:47 Sa 01.10.2016
Autor: leduart

Hallo
In der Induktion benutzest du die Gültigkeit für 2 aufeinanderfolgend Glieder, n und n-1 dann musst du auch die Induktinsanfang für 2 aufeinander folgende machen. Am einfachsten siehst du das wenn du n+1=1 wählst dann müsste auch [mm] 2^{-1}=1 [/mm] sein.
Gruß ledum


Bezug
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