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Forum "Lineare Algebra Sonstiges" - Induktion
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Induktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:40 Di 17.04.2007
Autor: Fritze15

1²-2²+3²-4²+ [mm] ...+(-1)^{n+1}*n² [/mm] = [mm] (-1)^{n+1}* \bruch{n(n+1)}{2} [/mm]

Induktionsanfang ist klar.

Induktionsbehauptung:
[mm] ((-1)^{n+1}*n²)+(-1)^{(n+1)+1}*(n+1)²=(-1)^{(n+1)+1}* \bruch{(n+1)((n+1)+1)}{2} [/mm]
[mm] ((-1)^{n+1)}*n²)+(-1)^{(n+2)}*(n+1)²=(-1)^{(n+2}* \bruch{(n+1)(n+2)}{2} [/mm]

Induktionsbewies
[mm] (-1)^{n+1}*\bruch{n(n+1)}{2}+(-1)^{(n+2}*(n+1)²=(-1)^{(n+2}* \bruch{(n+1)((n+2)}{2} [/mm]

Und jetzt weis ich nicht wie ich weiter umformen soll.

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Induktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:57 Di 17.04.2007
Autor: schachuzipus

Hallo,

ich denke, du hast da was "verdreht" im Induktionsschritt:

[mm] \underline{Ind.Vor.}: $\summe_{k=1}^{n} (-1)^{k+1}\cdot{}k=(-1)^{n+1}\cdot{}\frac{n(n+1)}{2}$ [/mm]

[mm] \underline{Ind.Beh.}: $\summe_{k=1}^{\red{n+1}} (-1)^{k+1}\cdot{}k=(-1)^{\red{n+1}+1}\cdot{}\frac{\red{(n+1)}(\red{n+1}+1)}{2}=(-1)^{n+2}\cdot{}\frac{(n+1)(n+2)}{2}$ [/mm]

Nun ist [mm] $\summe_{k=1}^{n+1} (-1)^{k+1}\cdot{}k=\left(\summe_{k=1}^{n} (-1)^{k+1}\cdot{}k\right)+(-1)^{n+1+1}\cdot{}(n+1)$ [/mm] den letzten Summanden rausgezogen

Nun kannst du für die erste Summe (bis n) die Induktionsvoraussetzung benutzen und das dann so ummodeln, dass am Schluss das Gewünschte - also die rechte Seite der Indbeh. dasteht


Hoffe, das hilft dir weiter


Gruß

schachuzipus

Bezug
                
Bezug
Induktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:13 Di 17.04.2007
Autor: Fritze15

Meiner Meinung nach hab ich das so gemacht wie du mir das beschreibst,nur war meine Darstellung(Summenzeichen,k)nicht ganz richtig, aber sonst hab ich den gleichen Ansatz.
Ich hatte die Induktionsvorraussetzung in meinem Induktionsbeweis bereits eingesetzt.
Mein Problem war das ich mit Umstellen nicht auf die rechte Seite gekommen bin.

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Bezug
Induktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:27 Di 17.04.2007
Autor: schachuzipus

Hallo nochmal,

ja, irgendwie fehlt die ganze linke Seite der Indbeh. (also die Summe - ob nun mit oder ohne Summenzeichen geschrieben) bei dir.


Kommst du denn nun mit der Umformung im Indschritt zurecht?

Falls nicht, meld dich nochmal

LG

schachuzipus

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Bezug
Induktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:38 Di 17.04.2007
Autor: Fritze15

Meine Aufgabe ist es doch nun dies
[mm] (-1)^{n+2}\cdot{}\frac{(n+1)(n+2)}{2} [/mm] $
so umzuformen bis es so
[mm] (-1)^{n+2}\cdot{}\frac{(n+1)(n+2)}{2} [/mm] $
aussieht?
Wenn ja, dann ist genau das mein Problemm.

Bezug
                                        
Bezug
Induktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:46 Di 17.04.2007
Autor: schachuzipus

Jo,

da steht zweimal dasselbe ;-)

ok, umzuformen ist [mm] $\left(\summe_{k=1}^{n} (-1)^{k+1}\cdot{}k\right)+(-1)^{n+2}\cdot{}(n+1)\underbrace{=}_{IndVor}(-1)^{n+1}\frac{n(n+1)}{2}+(-1)^{n+2}(n+1)$ [/mm]


Klammere hier [mm] $(-1)^{n+1}(n+1)$ [/mm] aus, dann siehste es


LG

schachuzipus

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Induktion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:47 Di 17.04.2007
Autor: Fritze15

Ich hab mich vertippt.
Was ich meinte war das
[mm] (-1)^{n+1}\cdot{}\bruch{n(n+1)}{2}+(-1)^{(n+2}\cdot{}(n+1)² [/mm]
Umformen zu
[mm] (-1)^{(n+2}\cdot{} \bruch{(n+1)((n+2)}{2} [/mm]
dem.

Bezug
        
Bezug
Induktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:41 Di 17.04.2007
Autor: HJKweseleit


> 1²-2²+3²-4²+ [mm]...+(-1)^{n+1}*n²[/mm] = [mm](-1)^{n+1}* \bruch{n(n+1)}{2}[/mm]
>  
> Induktionsanfang ist klar.
>  
> Induktionsbehauptung:
>  [mm]((-1)^{n+1}*n²)+(-1)^{(n+1)+1}*(n+1)²=(-1)^{(n+1)+1}* \bruch{(n+1)((n+1)+1)}{2}[/mm]
>  
> [mm]((-1)^{n+1)}*n²)+(-1)^{(n+2)}*(n+1)²=(-1)^{(n+2}* \bruch{(n+1)(n+2)}{2}[/mm]
>  
> Induktionsbewies
>  
> [mm](-1)^{n+1}*\bruch{n(n+1)}{2}+(-1)^{(n+2}*(n+1)²=(-1)^{(n+2}* \bruch{(n+1)((n+2)}{2}[/mm]
>  
> Und jetzt weis ich nicht wie ich weiter umformen soll.

Es ist alles richtig. Wenn ich dich richtig verstehe, weißt du nicht, wie du zeigen sollst, dass in der letzten Gleichung die rechte gleich der linken Seite ist. Das sieht man folgender Maßen:
[mm] (-1)^{n+1}*\bruch{n(n+1)}{2}+(-1)^{(n+2}*(n+1)²=(-1)*(-1)*(-1)^{n+1}*\bruch{n(n+1)}{2}+(-1)^{(n+2}*\bruch{2 (n+1)²}{2} [/mm]
[mm] (-1)*(-1)^{n+2}*\bruch{n(n+1)}{2}+(-1)^{(n+2}*\bruch{2(n+1)²}{2} [/mm]
[mm] =(-1)^{n+2}*\bruch{1}{2}*(-n(n+1)+2(n+1)²)=(-1)^{n+2}*\bruch{1}{2}*(-n^2-n+2n^2+4n+2)=(-1)^{n+2}*\bruch{1}{2}*(n^2+3n+2)) [/mm]
[mm] =(-1)^{(n+2}* \bruch{(n+1)((n+2)}{2} [/mm]



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