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Induktion, Beweisverfahren: Beweisen einer Formel durch In
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:55 Di 11.02.2014
Autor: WeirdPupil

Aufgabe
(Siehe Link-Anhang)

Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
http://www.onlinemathe.de/forum/Beweisen-einer-Formel-durch-Induktion

Ich habe eine Aufgabe zum Thema Beweisverfahren, genauergesagt: Induktion.

Sie lautet:

Betrachten Sie die Summe

sn=1+3+5+7...+(2n−1) sn=1+3+5+7...+(2n−1)

das heißt die SUmme der ersten n ungeraden Zahlen. Bilden Sie die Summen

s1, s2⁢, s3,s4,  s1, s2⁢, s3,s4, 

usw. so lange, bis Sie eine allgemeine Formel für sn erkennen. Beweisen Sie die Gültigkeit dieser Formel dann durch vollständige Induktion.

Aufgabenstellung eingescant:

http://s7.directupload.net/images/140211/auvptio5.jpg

Lösung eingescant:

http://s7.directupload.net/images/140211/6olvusvp.jpg

Wie in der angehängten Lösung zu sehen ist, wird

sn= n2⁢   sn= n2⁢  


Für⁢      alle⁢        n⁢  ∈   N∗ Für⁢      alle⁢        n⁢  ∈   N∗

Wie kommt man denn auf diese "Formel"?! Außerdem lassen sich doch mit ihr nur gerade Zahlen darstellen?

Bsp.:

s2=22 s2=22


s2=4 s2=4

aber

4 ist keine ungerade Zahl!

Würde mich über eine Erläuterung der Lösung sehr freuen...

        
Bezug
Induktion, Beweisverfahren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:14 Di 11.02.2014
Autor: schachuzipus

Hallo,

> (Siehe Link-Anhang)
> Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen
> Internetseiten gestellt:

>

> http://www.onlinemathe.de/forum/Beweisen-einer-Formel-durch-Induktion

>

> Ich habe eine Aufgabe zum Thema Beweisverfahren,
> genauergesagt: Induktion.

>

> Sie lautet:

>

> Betrachten Sie die Summe

>

> sn=1+3+5+7...+(2n−1) sn=1+3+5+7...+(2n−1)

>

> das heißt die SUmme der ersten n ungeraden Zahlen. Bilden
> Sie die Summen

>

> s1, s2⁢, s3,s4,  s1, s2⁢, s3,s4, 

>

> usw. so lange, bis Sie eine allgemeine Formel für sn
> erkennen. Beweisen Sie die Gültigkeit dieser Formel dann
> durch vollständige Induktion.

>

> Aufgabenstellung eingescant:

>

> http://s7.directupload.net/images/140211/auvptio5.jpg

>

> Lösung eingescant:

>

> http://s7.directupload.net/images/140211/6olvusvp.jpg

Was spricht dagegen, die paar Zeilen hier einzutippen?

So kann man nix dran schreiben und du wälzt die Arbeit des Eintippens auf die Antwortgeber ab ...

>

> Wie in der angehängten Lösung zu sehen ist, wird

>

> sn= n2⁢   sn= n2⁢  

Da steht doch [mm]s_n=n^2[/mm]  <-- klick mal drauf, dann siehst du, wie man das eintippt

>
>

> Für⁢      alle⁢        n⁢  ∈   N∗
> Für⁢      alle⁢        n⁢  ∈   N∗

>

> Wie kommt man denn auf diese "Formel"?!

Na durch Ausprobieren. Man bildet mal [mm]s_1,s_2,...,s_5[/mm] und guckt, welches Schema sich erkennen lässt ...

> Außerdem lassen
> sich doch mit ihr nur gerade Zahlen darstellen?

>

> Bsp.:

>

> s2=22 s2=22

>
>

> s2=4 s2=4

>

> aber

>

> 4 ist keine ungerade Zahl!

Na und? [mm]s_2[/mm] bezeichnet ja auch die Summe der ersten 2 ungeraden Zahlen, also [mm]1+3[/mm]. Und das ist 4 ...

Weiterer Test: Nehmen wir [mm]n=5[/mm] und gucken uns [mm]s_n=s_5[/mm] an:

[mm]s_5=5^2[/mm] sollte passen:



[mm]s_5[/mm] ist die Summe der ersten 5 ungeraden Zahlen, also [mm]s_5=1+3+5+7+9=25=5^2=n^2[/mm] - wunderbar ...

>

> Würde mich über eine Erläuterung der Lösung sehr
> freuen...

Der Induktionsschritt ist dir klar?

Wenn nicht, sage, was genau dir noch unklar ist, dann können wir weitersehen ...

Gruß


schachuzipus

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