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Infimum: verstehe die Lösung nicht
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:08 So 27.12.2015
Autor: pc_doctor

Aufgabe
Geben Sie ein Beispiel an. Begründen Sie kurz, dass Ihr Beispiel die geforderten Eigenschaften hat.

Eine Teilmenge von [mm] \IR [/mm] , die kein Infimum und kein Maximum hat, aber ein Supremum.

Hallo,
die Lösung der Aufgabe ist M:= [mm] (-\infty [/mm] , 5) [mm] \subseteq \IR [/mm]

Die Begründung dafür, dass kein Infimum existiert, verstehe ich nicht:

M besitzt kein Infimum, denn angenommen es würde ein x [mm] \in \IR [/mm] existierten, sodass x = inf M
Dann ist x insbesondere eine untere Schranke für M, d.h x [mm] \le [/mm] m für alle m [mm] \in [/mm] M. Es gilt jedoch y = x-1 [mm] \in [/mm] M mit  y < x
Widerspruch. M besitzt kein Infimum.

Was soll y = x-1  y < x hier bedeuten ? Man muss doch zeigen, dass es keine größere untere Schranke geben kann.

Ich kenne die Definition des Infimums so:
Eine Zahl i [mm] \in \IR [/mm] heißt Infimum von A (A Teilmenge von [mm] \IR) [/mm] , falls sie die größere untere Schranke von A ist, d.h:

(1)  i [mm] \le [/mm] a für alle a [mm] \in [/mm] A

(2) für jedes [mm] \varepsilon [/mm] > 0 existiert ein a [mm] \in [/mm] A, sodass a < i + [mm] \varepsilon [/mm] ( es existert keine größere untere Schranke)

Ich bitte um Aufklärung.

Vielen Dank im Voraus


        
Bezug
Infimum: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:28 So 27.12.2015
Autor: fred97

Wenn eine Teilmenge von [mm] \IR [/mm] ein Infimm  hat, so ist sie insbes. nach unten beschränkt.

Obige Menge M ist das aber nicht, also ex. Inf M nicht.

Fred

Bezug
                
Bezug
Infimum: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:30 So 27.12.2015
Autor: pc_doctor

Und das wurde mit y = x-1 , y <x gezeigt ?

Bezug
                        
Bezug
Infimum: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:33 So 27.12.2015
Autor: Thomas_Aut

Es gibt immer eine kleinere Zahl, die in der Menge enthalten ist.


Lg

Bezug
                                
Bezug
Infimum: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:52 So 27.12.2015
Autor: pc_doctor

Achso, so ist das zu verstehen , alles klar, vielen Dank für die beiden Antworten.

Bezug
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