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Forum "Lineare Gleichungssysteme" - Inhomogenes LGS lösen
Inhomogenes LGS lösen < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Inhomogenes LGS lösen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:34 Di 15.07.2014
Autor: SturmGhost

Aufgabe
LGS auf Lösbarkeit untersuchen und ggf. alle Lösungen bestimmen: [mm] A:=\pmat{ 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 5 & 8 & 11 \\ 1 & 0 & -1 & -2}*\pmat{ x1 \\ x2 \\ x3 \\ x4}=\pmat{ 5 \\ 12 \\ 1 } [/mm]

Ich weiß also bereits direkt das ich mindestens eine Variable frei Wählen kann da der maximal mögliche Rang der Koeffizientenmatrix kleiner ist als die Anzahl der Unbekannten.

Naja also habe ich mit Gauß erst einmal die Zeilenstufenform kredenzt (jetzt als erweiterte Koeffizientenmatrix geschrieben):

[mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 0 & 1 & 2 & 3 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 } [/mm]

Jetzt ist der Rang der Koeffizientenmatrix also 2 und der Rand der erweiteren Koeffizientenmatrix ebenfalls 2. Ich muss als zwei Variablen frei wählen.

Jetzt war ich mir nicht ganz so sicher wie ich weitermachen soll.

Also wähle x3, x4 [mm] \in\IR [/mm] beliebig x3 bezeichne ich als [mm] \alpha [/mm] und x4 als [mm] \beta. [/mm] Somit erhalte ich für die zweite Gleichung:

[mm] \Rightarrow x2+2\alpha+3\beta=2 [/mm]

[mm] \gdw [/mm] x2 = [mm] 2-2\alpha+3\beta [/mm]

In die erste Gleichung

[mm] \Rightarrow x1+2*(2-2\alpha+3\beta)+3\alpha+4\beta=5 [/mm]

[mm] \gdw [/mm] x1 = [mm] 1+\alpha-10\beta [/mm]

Stimmt das?

        
Bezug
Inhomogenes LGS lösen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:51 Di 15.07.2014
Autor: Infinit

Hallo SturmGhost,
ja, da hast Du richtig gerechnet. Zwei Variablen sind frei wählbar.
Viele Grüße,
Infinit

Bezug
        
Bezug
Inhomogenes LGS lösen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:57 Di 15.07.2014
Autor: rmix22


> [mm]\Rightarrow x2+2\alpha+3\beta=2[/mm]
>  
> [mm]\gdw[/mm] x2 = [mm]2-2\alpha\red{-}3\beta[/mm]
>  

Achtung - Vorzeichenfehler!

Gruß RMix

Bezug
                
Bezug
Inhomogenes LGS lösen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:07 Di 15.07.2014
Autor: SturmGhost

Hui, das stimmt.

Also x2 = [mm] 2-2\alpha-3\beta [/mm]

und x1= [mm] 1+\alpha+2\beta [/mm]

Bezug
                        
Bezug
Inhomogenes LGS lösen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:22 Di 15.07.2014
Autor: Herby

Hallo SturmGhost,

> Hui, das stimmt.
>  
> Also x2 = [mm]2-2\alpha-3\beta[/mm]
>  
> und x1= [mm]1+\alpha+2\beta[/mm]  

[daumenhoch]


LG
[Dateianhang nicht öffentlich] Herby

Bezug
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