Injektive Holomorphe Abbildung < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | [mm] G \subset \mathbb {C}[/mm] ein hom. triviales Gebiet und [mm] z_0 [/mm] ein Punkt in G. Zeigen Sie:
- dass es für jedes [mm]n \in \mathbb{N}[/mm] eine holomorphe injektive Abb. [mm]f_n :G \rightarrow \mathbb {C}[/mm] gibt mit [mm]f_n(z_0) = 1-\frac {1}{n}[/mm]
- die Folge [mm] f_n [/mm] konvergiert lok. glm. gegen eine nicht injektive holomorphe Abb. |
Hallo,
ich brauche etwas Hilfe, um einen Ansatz für diese Aufgabe zu finden. Ich habe zwar so ziemlich alle Hilfsmittel aus der klassischen Funktionentheorie zur Verfügung, aber ich finde wie gesagt keinen Ansatz, um etwas über die Form der Abb. [mm] f_n [/mm] aussagen zu können.
Meine erste Idee war es, hier den Riemmanschen Abb.Satz anzuwenden. Der Beweis dazu liefert mir ja die Existenz der gesuchten Abb. Ich brauche jetzt nur etwas Hilfe, wie ich auf die gesuchte Form komme.
Mit freundlichen Grüßen
Tobias
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:53 Do 23.06.2016 | | Autor: | fred97 |
> [mm]G \subset \mathbb {C}[/mm] ein hom. triviales Gebiet und [mm]z_0[/mm] ein
> Punkt in G.
Hallo Tobias,
In der Funktionentheorie bin ich eigentlich sehr gut zu Hause, aber "hom. triviales Gebiet" habe ich noch nicht gehört (gelesen). Was ist das ?
> Zeigen Sie:
> - dass es für jedes [mm]n \in \mathbb{N}[/mm] eine holomorphe
> injektive Abb. [mm]f_n :G \rightarrow \mathbb {C}[/mm] gibt mit
> [mm]f_n(z_0) = 1-\frac {1}{n}[/mm]
> - die Folge [mm]f_n[/mm] konvergiert lok.
> glm. gegen eine nicht injektive holomorphe Abb.
> Hallo,
>
> ich brauche etwas Hilfe, um einen Ansatz für diese Aufgabe
> zu finden. Ich habe zwar so ziemlich alle Hilfsmittel aus
> der klassischen Funktionentheorie zur Verfügung, aber ich
> finde wie gesagt keinen Ansatz, um etwas über die Form der
> Abb. [mm]f_n[/mm] aussagen zu können.
> Meine erste Idee war es, hier den Riemmanschen Abb.Satz
> anzuwenden. Der Beweis dazu liefert mir ja die Existenz der
> gesuchten Abb. Ich brauche jetzt nur etwas Hilfe, wie ich
> auf die gesuchte Form komme.
1. Sei f der lokal glm. Limes der Folge [mm] (f_n). [/mm] Die [mm] (f_n) [/mm] sind injektiv und f nicht. Ein Satz von Hurwitz besagt: f ist konstant.
2. Ich hab mir den Ansatz [mm] f_n(z)=a_n(z-z_0)+b_n [/mm] überlegt (mit komplexen Folgen [mm] (a_n) [/mm] und [mm] (b_n)).
[/mm]
Wegen $ [mm] f_n(z_0) [/mm] = [mm] 1-\frac [/mm] {1}{n} $ muss [mm] $b_n=1-\frac [/mm] {1}{n} $ sein.
Damit dann [mm] (f_n) [/mm] lok. glm. gegen eine Konstante (s.1.) konvergiert, bietet sich an, [mm] (a_n) [/mm] als Nullfolge zu wählen. Such Dir eine aus.
FRED
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> Mit freundlichen Grüßen
> Tobias
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Ich formulier das mal als Frage, damit das vernünftig angezeigt wird.
Wenn man unserem Prof glauben schenken darf, dann ist dieser Begriff quasi überflüssig, weil nach dem Riemmanschen Abb. Satz homologisch trivial und einfach zusammenhängend äquivalent sind.
Alternativ hier unsere Definition:
http://www.mi.uni-koeln.de/~clange/Existenz%20der%20Stammfunktionen.pdf
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(Antwort) fertig | | Datum: | 05:54 Fr 24.06.2016 | | Autor: | fred97 |
> Ich formulier das mal als Frage, damit das vernünftig
> angezeigt wird.
> Wenn man unserem Prof glauben schenken darf, dann ist
> dieser Begriff quasi überflüssig, weil nach dem
> Riemmanschen Abb. Satz homologisch trivial und einfach
> zusammenhängend äquivalent sind.
> Alternativ hier unsere Definition:
>
> http://www.mi.uni-koeln.de/~clange/Existenz%20der%20Stammfunktionen.pdf
Ja, nun sind wir im Bilde:
homologisch trivial = einfach zusammenhängend.
Zur Konstruktion der [mm] (f_n) [/mm] hast Du keinen Pups gelassen ?
FRED
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