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Inkreisaufgabe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:22 Do 18.08.2011
Autor: KingStone007

Hallo, es geht um die dritte Aufgabe des folgenden Wettbewerbs:
[]41.Matheolympiade 3. Stufe

Ich habe leider kaum einen Ansatz wie ich an diese Aufgabe rangehen sollte. Habt ihr vllt eine Idee?

Lg, David

        
Bezug
Inkreisaufgabe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:48 Do 18.08.2011
Autor: reverend

Hallo David,

mach erstmal eine Skizze, und probiere es umgekehrt:

(oops, meine 1. Version war gerade Unsinn. Hier nochmal neu):

1) Wenn die beiden Inkreise der Teildreiecke sich berühren sollen, dann schneidet die Gerade durch die beiden Mittelpunkte die Strecke [mm] \overline{CD} [/mm] genau senkrecht. Bestimme daraus die Lage von Punkt D.

2) Bestimme den Berührpunkt des Inkreises von [mm] \triangle{ABC} [/mm] (wobei eine Spiegelung an der Winkelhalbierenden von [mm] \alpha [/mm] hilfreich ist), und zeige, dass er mit D identisch ist.

Ich lasse die Frage teilweise offen, falls noch jemand eine elegantere Idee hat. ;-)

Viel Erfolg,
reverend


Bezug
        
Bezug
Inkreisaufgabe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:03 Sa 20.08.2011
Autor: Leopold_Gast

Die Seiten des Dreiecks [mm]ABC[/mm] sind Tangenten des Inkreises. Daher ist die Entfernung von [mm]A[/mm] zu den Berührpunkten des Inkreises mit den Strecken [mm]AB[/mm] bzw. [mm]AC[/mm] dieselbe. Nennen wir diese [mm]u[/mm]. Die entsprechenden Strecken von [mm]B[/mm] bzw. [mm]C[/mm] aus mögen [mm]v,w[/mm] heißen. Aus dem linearen Gleichungssystem

[mm]u+v = c \, , \ \ v+w = a \, , \ \ w+u = b[/mm]

lassen sich [mm]u,v,w[/mm] ermitteln. Wir brauchen nur

(*)  [mm]u = \frac{1}{2} \left( -a+b+c \right)[/mm]

Jetzt sei [mm]D[/mm] auf der Strecke [mm]AB[/mm] gewählt, so daß [mm]AD[/mm] die Länge [mm]t[/mm] und [mm]BD[/mm] die Länge [mm]c-t[/mm] hat. Die Länge der Strecke [mm]CD[/mm] heiße [mm]p[/mm]. Der Berührpunkt des Inkreises von [mm]ADC[/mm] mit [mm]CD[/mm] sei [mm]S[/mm], der Berührpunkt des Inkreises von [mm]BDC[/mm] mit [mm]CD[/mm] sei [mm]T[/mm].

1. Wir wenden (*) auf das Dreieck mit den Ecken [mm]A'= D, \, B' = C, \, C'= A[/mm] an. Gib damit die Länge [mm]u'[/mm] der Strecke [mm]DS[/mm] in Abhängigkeit von [mm]a,b,c,t,p[/mm] an.

2. Wir wenden (*) auf das Dreieck mit den Ecken [mm]A'' = D, \, B'' = C, \, C'' = B[/mm] an. Gib damit die Länge [mm]u''[/mm] der Strecke [mm]DT[/mm] in Abhängigkeit von [mm]a,b,c,t,p[/mm] an.

3. Dann gilt: [mm]S = T \ \ \Leftrightarrow \ \ u' = u''[/mm]. Und jetzt ist nur noch die Äquivalenz der letzten Bedingung mit [mm]t = u[/mm] nachzuweisen. Einfach ausrechnen.

Bezug
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