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Forum "Integralrechnung" - Integr. gebr. ratio. in ln-Fkt
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Integr. gebr. ratio. in ln-Fkt: Frage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:16 So 27.02.2005
Autor: Quadratur_des_Kreises

Also Ich habe das Problem folgende Funktion zu integrieren:

[mm] h_a=ln \left( \bruch{a * x}{1+x^2} \right) [/mm]

Meine Versuche waren bisher zuerst die gebrochen rationale Funktion im innern der ln Funktion zu integrieren. Da hatte ich dann:

[mm] \bruch{a}{2} \left[ ln(1+x^2) \right] [/mm]

und dann kenne ich ja noch  eine Stammfunktion von ln:

x*ln(x)-x

Aber wie komme ich nur zur eigentlichen Stammfunktion??

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Integr. gebr. ratio. in ln-Fkt: Antwort (fehlerhaft)
Status: (Antwort) fehlerhaft Status 
Datum: 12:22 So 27.02.2005
Autor: nitro1185

Hallo!!

nein,das nützt dir nicht viel wenn du es getrennt machst!!

Ich würde 1+x² substituieren:

z(x)=1+x²

=> [mm] \bruch{dz}{dx}=2x [/mm]

=> dx=1/2x *dy

einsetzen,dann kürzt sich das obere x weg und du kannst den ln ganz normal integrieren --> Formelsammlung zu Hilfe nehmen

MFG Daniel

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Bezug
Integr. gebr. ratio. in ln-Fkt: Anmerkung: NICHT kürzen!
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:29 So 27.02.2005
Autor: Loddar

Hallo nitro!

Das mit dem "x rauskürzen" wird nicht funktionieren, da das ursprüngliche $ax$ als Argument der ln-Funktion steht.

Und hier dann zu kürzen, wäre doch ein "mathematisches Schwerverbrechen" ...


Gruß
Loddar


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Integr. gebr. ratio. in ln-Fkt: 1. Schritte
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:38 So 27.02.2005
Autor: Loddar

Hallo Quadratur_des_Kreises!

[willkommenmr] !!


Zunächst würde ich Deinen Ausdruck nach den MBLogarithmusgesetzen umformen:

[mm] $\log_b [/mm] (x * y) \ = \ [mm] \log_b(x) [/mm] + [mm] \log_b(y)$ [/mm]
[mm] $\log_b \left( \bruch{x}{y} \right) [/mm] \ = \ [mm] \log_b(x) [/mm] - [mm] \log_b(y)$ [/mm]


[mm] $h_a(x) [/mm] \ = \ [mm] \ln \left( \bruch{a*x}{1+x^2} \right) [/mm] \ = \ [mm] \ln [/mm] (a*x) - [mm] \ln(1+x^2) [/mm] \ = \ [mm] \ln [/mm] (a) + [mm] \ln(x) [/mm] - [mm] \ln(1+x^2)$ [/mm]


Nun sollte ja die ersten beiden Ausdrücke kein Problem sein ...

[kopfkratz3] Hhhmmm - aber zum letzten Ausdruck fällt mir jetzt spontan nichts ein [peinlich].


Gruß
Loddar


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Integr. gebr. ratio. in ln-Fkt: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:13 So 27.02.2005
Autor: nitro1185

hallo!!

Da muss ich die wohl recht geben.Im ln Ausdruck würde es sich wegkürzen,aber das bringt nichts,da das dy im ln Ausdruck stehen würde.

Bezug
                        
Bezug
Integr. gebr. ratio. in ln-Fkt: Auch falsch!
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:09 Mo 28.02.2005
Autor: Loddar

Hallo Daniel!


> Im ln Ausdruck würde es sich wegkürzen, aber das bringt nichts,
> da das dy im ln Ausdruck stehen würde.

Das stimmt so aber auch nicht !!!!


Deine Substitution sähe folgendermaßen aus:

[mm] $h_a(x) [/mm] \ = \ [mm] \ln \left( \bruch{ax}{1+x^2} \right)$ [/mm]

$z \ := \ [mm] 1+x^2$ [/mm]

[mm] $\bruch{dz}{dx} [/mm] \ = \ 2x$     [mm] $\gdw$ [/mm]     $ dx \ = \ [mm] \bruch{dz}{2x}$ [/mm]


[mm] $\Rightarrow$ $\integral_{}^{} {h_a(x) \ dx} [/mm] \ = \ [mm] \integral_{}^{} {\ln \left( \bruch{ax}{1+x^2} \right) \ dx} [/mm] \ = \ [mm] \integral_{}^{} {\ln \left( \bruch{ax}{z} \right) \ \bruch{dz}{2x}} [/mm] \ [mm] \not= [/mm] \ ...$

Und hier bleiben wir dann hängen!
Aber wir haben ja inzwischen eine Lösung erarbeitet ... :-)


Loddar


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Integr. gebr. ratio. in ln-Fkt: Lösungsvorschlag!!
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:29 So 27.02.2005
Autor: nitro1185

Um meinen Fehler aufzuheben :-) will ich einen Lösungsvorschlag zum Integral von ln(1+x²) geben!

[mm] \integral_ [/mm] {ln(1+x²) *1 dx}=

Partielle Integration:  f=ln(1+x²)        f'= [mm] \bruch{2x}{1+x²} [/mm]          g= x                 g'= 1
                                  
=> [mm] \integral_ [/mm] {ln(1+x²) *1 dx}= ln(1+x²)*x -  [mm] \integral {\bruch{2x²}{1+x²} dx} [/mm]

So nun kannst du die partial Bruchzerlegung anwenden...............

Problem: 1+x² hat komplexe Lösungen

=> Du musst quadratisch ergänzen

mfg daniel

Bezug
                
Bezug
Integr. gebr. ratio. in ln-Fkt: Anmerkung: Polynomdivision
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:39 So 27.02.2005
Autor: Loddar

Hallo Daniel!

Guter Ansatz (hätte ich ja auch drauf kommen können ...)


> [mm]\integral_[/mm] {ln(1+x²) *1 dx}=
>  
> Partielle Integration:  f=ln(1+x²)        f'=
> [mm]\bruch{2x}{1+x²}[/mm]          g= x                 g'= 1
>                                    
> => [mm]\integral_[/mm] {ln(1+x²) *1 dx}= ln(1+x²)*x -  
> [mm]\integral {\bruch{2x²}{1+x²} dx}[/mm]

Du brauchst hier aber keine keine Partialbruchzerlegung, sondern über Polynomdivision erhält man:
[mm] $\bruch{2x^2}{1+x^2} [/mm] \ = \ 2 - [mm] \bruch{2}{1+x^2} [/mm] \ = \ 2 - 2 * [mm] \bruch{1}{1+x^2}$ [/mm]

Dann muß man noch wissen: [mm] $\left[ \arctan(x) \right]' [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{1+x^2}$ [/mm]


Gruß
Loddar


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