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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:49 Mo 06.07.2009 | | Autor: | Sebescen |
| Aufgabe | Berechne [mm] \integral_{1}^{2}{1-x / x^{2}-2x-3 dx}
[/mm]
Hinweis: Seien a1, a2, a3, a4 € R und q(x) ein Polynom vom Grad höchstens 3. Dann gibt es c1,c2,c3,c4 € R, so dass
[mm] \bruch{q(x)}{(x-a1)(x-a2)(x-a3)(x-a4)} [/mm] = [mm] \bruch{c1}{x-a1}+\bruch{c2}{x-a2}+\bruch{c3}{x-a3}+\bruch{c4}{x-a4} [/mm] |
Kann mir bitte jemand bei der Berechnung des Integrals helfen? Weiss nicht genau wie ich die Vorschrift verwenden soll.
Diese Aufgabenstellung soll in der Klausur vorkommen. Wäre euch sehr dankbar, wenn ihr mir eine Aufgabe als Beispiel vorrechnen könntet oder zumindest den Anfang.
Hab die Funktion in 1-x / (x+1)(x-3) umgeformt, komme jetzt aber nicht weiter zu c1, c2 usw.? Hab ja nur 2 a's und nicht 4 wie in der Vorschrift. Kann ich die trotzdem anwenden?
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Hallo Sebescen,
> Berechne [mm]\integral_{1}^{2}{1-x / x^{2}-2x-3 dx}[/mm]
Aah, bitte Klammern setzen oder unseren Formeleditor benutzen, mit dem kannst du Brüche und alles, was das Herz begehrt, darstellen.
Was da oben steht, ist kompletter Unfug im Hinblick auf das Weitere ...
>
> Hinweis: Seien a1, a2, a3, a4 € R und q(x) ein Polynom
> vom Grad höchstens 3. Dann gibt es c1,c2,c3,c4 € R, so
> dass
>
> [mm]\bruch{q(x)}{(x-a1)(x-a2)(x-a3)(x-a4)}[/mm] =
> [mm]\bruch{c1}{x-a1}+\bruch{c2}{x-a2}+\bruch{c3}{x-a3}+\bruch{c4}{x-a4}[/mm]
> Kann mir bitte jemand bei der Berechnung des Integrals
> helfen? Weiss nicht genau wie ich die Vorschrift verwenden
> soll.
> Diese Aufgabenstellung soll in der Klausur vorkommen.
> Wäre euch sehr dankbar, wenn ihr mir eine Aufgabe als
> Beispiel vorrechnen könntet oder zumindest den Anfang.
> Hab die Funktion in 1-x / (x+1)(x-3) umgeformt,
Wieder.
KLAMMERN !!!!!
Gemeint ist wohl [mm] $\bruch{1-x}{(x+1)(x-3)}$
[/mm]
Klicke mal darauf, dann siehst du, wie du's eintippen musst
> komme jetzt aber nicht weiter zu c1, c2 usw.? Hab ja nur 2 a's
> und nicht 4 wie in der Vorschrift. Kann ich die trotzdem
> anwenden?
Ja, kannst du, der Ansatz hier ist dann entsprechend
[mm] $\frac{1-x}{(x+1)(x-3)}=\frac{A}{x+1}+\frac{B}{x-3}$
[/mm]
Mache hier nun mal rechterhand gleichnamig und sortiere dann im Zähler nach Potenzen von $x$
Schließlich bestimme $A,B$ durch Koeffizientenvergleich mit der linken Seite [mm] $1-x=\red{-1}\cdot{}x+\red{1}$
[/mm]
Dann bekommst du statt des Ausgangsintegrals eine Summe von 2 einfachen Integralen
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:12 Mo 06.07.2009 | | Autor: | Sebescen |
Danke für deine Antwort und Sorry für meine schlechte Darstellung. Hab noch nicht soviel mit dem Formeleditor gearbeitet.
Kannst du mir noch erklären wie ich A und B finde?
Wenn ich rechterhand gleichnamig mache, komme ich auf
[mm] \bruch{2x-2}{(x+1)(x-3)} [/mm] oder muss ich A und B als Variablen stehen lassen bzw. durch was ersetzen?
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Hallo nochmal,
> Danke für deine Antwort und Sorry für meine schlechte
> Darstellung. Hab noch nicht soviel mit dem Formeleditor
> gearbeitet.
> Kannst du mir noch erklären wie ich A und B finde?
> Wenn ich rechterhand gleichnamig mache, komme ich auf
> [mm]\bruch{2x-2}{(x+1)(x-3)}[/mm] oder muss ich A und B als
> Variablen stehen lassen bzw. durch was ersetzen?
Du betrachtest zunächst nur die rechte Seite und machst gleichnamig und sortierst im Zähler nach Potenzen von x:
[mm] $\frac{A}{x+1}+\frac{B}{x-3}=\frac{A(x-3)+B(x+1)}{(x+1)(x-3)}=\frac{Ax-3A+Bx+B}{(x+1)(x-3)}=\frac{(\red{A+B})x+(\blue{-3A+B})}{(x+1)(x-3)}$
[/mm]
Die linke Seite war [mm] $\frac{\red{-1}x+\blue{1}}{(x+1)(x-3)}$
[/mm]
Damit also durch Koeffizientenvergleich:
[mm] $\red{A+B=-1} [/mm] \ \ [mm] \text{und} [/mm] \ \ [mm] \blue{1=-3A+B}$
[/mm]
Daraus berechne nun $A,B$
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:56 Mi 08.07.2009 | | Autor: | Sebescen |
Super! Danke für die Antwort. Hatte das Ergebnis mittlerweile dann auch ausgerechnet.
Also ist die Stammfunktion mit der ich das Integral ausrechnen kann dann [mm] -\bruch{1}{2} \bruch{1}{(x+1)} \bruch{1}{(x-3)}
[/mm]
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Hallo nochmal,
> Super! Danke für die Antwort. Hatte das Ergebnis
> mittlerweile dann auch ausgerechnet.
> Also ist die Stammfunktion mit der ich das Integral
> ausrechnen kann dann [mm]-\bruch{1}{2} \bruch{1}{(x+1)} \bruch{1}{(x-3)}[/mm]
>
Ich glaube, du meinst es richtig, hast es aber ziemlich daneben ausgedrückt 
Nach der PBZ ist [mm] $\frac{1-x}{x^2-2x-3}=-\frac{1}{2}\cdot{}\left(\frac{1}{x+1}\red{+}\frac{1}{x-3}\right)$
[/mm]
Es ist also [mm] $\int{\frac{1-x}{x^2-2x-3} \ dx}=-\frac{1}{2}\cdot{}\int{\left(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{x-3}\right) \ dx}$
[/mm]
[mm] $=-\frac{1}{2}\cdot{}\left[\int{\frac{1}{x+1} \ dx} \ + \ \int{\frac{1}{x-3} \ dx}\right]$
[/mm]
Das gilt es noch zu berechnen
Du hast es nun geschafft, dein kompliziertes Ausgangsintegral in die Summe zweier relativ elementarer Integrale zu zerlegen ...
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:12 Mi 08.07.2009 | | Autor: | Sebescen |
Ja hatte die Tippfehler auch schon entdeckt... Konnte aber nicht bearbeiten, da du schon an deiner Antwort warst!
Vielen Dank für deine Hilfe!!!!
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