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Forum "Integration" - Integral, Substitution
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Integral, Substitution: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:46 So 22.01.2006
Autor: smee

Aufgabe
Bestimme das Integral:

[mm]\int~\frac{1}{(x^2+x+2)^2}~dx[/mm]

Hallo!

Ich hänge wieder mal beim Integrieren fest ;-)

In der Aufgabe vor dieser war zu lösen:

[mm]\int~\frac{1}{x^2+x+2}~dx[/mm]

was ich mit der Substitution: [mm]z := \frac{2x + 1}{\sqrt{7}}[/mm] auch hinbekommen habe.

Mein Ansatz bei der vorliegenden Aufgabe ist nun, die gleiche Substitution zu verwenden und dann entweder nochmal zu substituieren (aber wie?) oder mit partieller Integration weiter zu machen. Aber ich komm' da auf keinen grünen Zweig. Mit Partialbruchzerlegung komme ich glaube ich auch nicht weiter ... Also, ich kann das Integral in diese Form bringen:

[mm]k * \int~\frac{1}{(z^2+1)^2}~dz[/mm]

... womit aber auch nicht viel gewonnen ist. Könnte mir jemand einen Tipp geben, wie's weiter geht? :-)

Carsten

        
Bezug
Integral, Substitution: Substitution
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:51 So 22.01.2006
Autor: MathePower

Hallo smee,

> Bestimme das Integral:
>  
> [mm]\int~\frac{1}{(x^2+x+2)^2}~dx[/mm]
>  Hallo!
>  
> Ich hänge wieder mal beim Integrieren fest ;-)
>  
> In der Aufgabe vor dieser war zu lösen:
>  
> [mm]\int~\frac{1}{x^2+x+2}~dx[/mm]
>  
> was ich mit der Substitution: [mm]z := \frac{2x + 1}{\sqrt{7}}[/mm]
> auch hinbekommen habe.
>  
> Mein Ansatz bei der vorliegenden Aufgabe ist nun, die
> gleiche Substitution zu verwenden und dann entweder nochmal
> zu substituieren (aber wie?) oder mit partieller
> Integration weiter zu machen. Aber ich komm' da auf keinen
> grünen Zweig. Mit Partialbruchzerlegung komme ich glaube
> ich auch nicht weiter ... Also, ich kann das Integral in
> diese Form bringen:
>  
> [mm]k * \int~\frac{1}{(z^2+1)^2}~dz[/mm]
>  
> ... womit aber auch nicht viel gewonnen ist. Könnte mir
> jemand einen Tipp geben, wie's weiter geht? :-)

Wende hier die Substitution

[mm]z\; = \;\tan \;u[/mm]

Dies führt dann auf

[mm]\int {\cos ^2 \;u\;du} [/mm]

Gruß
MathePower



Bezug
                
Bezug
Integral, Substitution: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:50 So 22.01.2006
Autor: smee

Spitze! Danke sehr!

Auch wenn's (fast) die gleiche Substitution wie bei meiner gestrigen Frage ist, bin ich nicht drauf gekommen. Naja, kommt schon noch ... ;-)

Bezug
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