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Forum "Funktionalanalysis" - Integral berechnen
Integral berechnen < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Integral berechnen: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:34 So 09.07.2017
Autor: nightsusi

Aufgabe
Zeige: [mm] \integral_{0}^{2\pi}{\bruch{dt}{5-3 cos(t)}}=\bruch{\pi}{2} [/mm]

Guten Morgen zusammen, ich stecke bei obiger Aufgabe fest und vielleicht könnt Ihr mir da unter die Arme greifen.

Um mich an die Aufgabe heranzutasten, hab ich mir mit WolframAlpha schon mal die Stammfunktion bestimmen lassen. Demnach gilt
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{dt}{5-3 cos(t)}}=\bruch{1}{2}tan^{-1}(2tan(\bruch{t}{2})) [/mm]

Jetzt steh ich aber vor dem Problem: Mit welcher Substitution kommt man zu dieser Stammfunktion bzw. warum erhalte ich nicht [mm] \bruch{\pi}{2}? [/mm]
[mm] \integral_{0}^{2\pi}{\bruch{dt}{5-3 cos(t)}} [/mm]
[mm] =\bruch{1}{2}tan^{-1}(2tan(\bruch{t}{2})) [/mm]
[mm] =(\bruch{1}{2}tan^{-1}(2tan(\bruch{2\pi}{2})))-(\bruch{1}{2}tan^{-1}(2tan(\bruch{0}{2}))) [/mm]
[mm] =(\bruch{1}{2}tan^{-1}(2tan(\pi)))-(\bruch{1}{2}tan^{-1}(2tan(0))) [/mm]
[mm] =(\bruch{1}{2}tan^{-1}(0))-(\bruch{1}{2}tan^{-1}(0)) [/mm]
=0 ???

Wo hat sich da mein Fehler eingeschlichen? Es wäre lieb wenn Ihr mir dort weiterhelfen könntet. DANKE

Gerne bin ich auch für alternative Lösungswege offen.

Wünsche Euch allen noch einen schönen Sonntag
LG

        
Bezug
Integral berechnen: Achtung Fehler
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:55 So 09.07.2017
Autor: Diophant

Hallo,
 [mm]\integral_{0}^{2\pi}{\bruch{dt}{5-3 cos(t)}}=\bruch{\pi}{2}[/mm]
>

> Guten Morgen zusammen, ich stecke bei obiger Aufgabe fest
> und vielleicht könnt Ihr mir da unter die Arme greifen.

>

> Um mich an die Aufgabe heranzutasten, hab ich mir mit
> WolframAlpha schon mal die Stammfunktion bestimmen lassen.
> Demnach gilt
> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{dt}{5-3 cos(t)}}=\bruch{1}{2}tan^{-1}(2tan(\bruch{t}{2}))[/mm]

>

> Jetzt steh ich aber vor dem Problem: Mit welcher
> Substitution kommt man zu dieser Stammfunktion bzw. warum
> erhalte ich nicht [mm]\bruch{\pi}{2}?[/mm]
> [mm]\integral_{0}^{2\pi}{\bruch{dt}{5-3 cos(t)}}[/mm]

>

> [mm]=\bruch{1}{2}tan^{-1}(2tan(\bruch{t}{2}))[/mm]

>

> [mm]=(\bruch{1}{2}tan^{-1}(2tan(\bruch{2\pi}{2})))-(\bruch{1}{2}tan^{-1}(2tan(\bruch{0}{2})))[/mm]

>

> [mm]=(\bruch{1}{2}tan^{-1}(2tan(\pi)))-(\bruch{1}{2}tan^{-1}(2tan(0)))[/mm]
> [mm]=(\bruch{1}{2}tan^{-1}(0))-(\bruch{1}{2}tan^{-1}(0))[/mm]
> =0 ???

>

> Wo hat sich da mein Fehler eingeschlichen?

Du hast das wolframalpha-Ergebnis falsch abgelesen. Dort steht sicherlich nicht [mm] tan^{-1} [/mm] (für den Arkustangens) sondern [mm] tanh^{-1} [/mm] für den Areatangens (hyperbolicus).

EDIT: Obiges war ganz offensichtlich bei mir von wolframalpha falsch berechnet. Das Ergebnis war tatsächlich mittels einer Areafunktion dargestellt, was aber hier ja gar nicht sein kann.

Am Rest arbeite ich noch, es geht sicherlich irgendwie über die sog. []Halbwinkelformeln. ich weiß jedoch gerade nicht, ob ich die Zeit habe, das durchzurechnen.


Gruß, Diophant

Bezug
        
Bezug
Integral berechnen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:49 So 09.07.2017
Autor: Fulla

Hallo nightsusi!
> Zeige: [mm]\integral_{0}^{2\pi}{\bruch{dt}{5-3 cos(t)}}=\bruch{\pi}{2}[/mm]

>

> Guten Morgen zusammen, ich stecke bei obiger Aufgabe fest
> und vielleicht könnt Ihr mir da unter die Arme greifen.

>

> Um mich an die Aufgabe heranzutasten, hab ich mir mit
> WolframAlpha schon mal die Stammfunktion bestimmen lassen.
> Demnach gilt
> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{dt}{5-3 cos(t)}}=\bruch{1}{2}tan^{-1}(2tan(\bruch{t}{2}))[/mm]

>

> Jetzt steh ich aber vor dem Problem: Mit welcher
> Substitution kommt man zu dieser Stammfunktion bzw. warum
> erhalte ich nicht [mm]\bruch{\pi}{2}?[/mm]

Leite diese (richtige!) Stammfunktion mal ab! Forme dann um, bis du die Ausgangsfunktion dastehen hast (Tipp: [mm]\tan^2\frac t2=\frac{1-\cos t}{1+\cos t}[/mm] und [mm]\cos^2\frac t2=\frac 12(1+\cos t)[/mm]).

In deiner Lösung formst du dann andersherum um und substituierst am Ende [mm]u=\tan\frac t2[/mm], was zu [mm]\int\frac{1}{4u^2+1}du[/mm] führt...


> [mm]\integral_{0}^{2\pi}{\bruch{dt}{5-3 cos(t)}}[/mm]

>

> [mm]=\bruch{1}{2}tan^{-1}(2tan(\bruch{t}{2}))[/mm]

>

> [mm]=(\bruch{1}{2}tan^{-1}(2tan(\bruch{2\pi}{2})))-(\bruch{1}{2}tan^{-1}(2tan(\bruch{0}{2})))[/mm]

>

> [mm]=(\bruch{1}{2}tan^{-1}(2tan(\pi)))-(\bruch{1}{2}tan^{-1}(2tan(0)))[/mm]
> [mm]=(\bruch{1}{2}tan^{-1}(0))-(\bruch{1}{2}tan^{-1}(0))[/mm]
> =0 ???

Dazu mache ich mir später noch Gedanken...

> Wo hat sich da mein Fehler eingeschlichen? Es wäre lieb
> wenn Ihr mir dort weiterhelfen könntet. DANKE

>

> Gerne bin ich auch für alternative Lösungswege offen.

>

> Wünsche Euch allen noch einen schönen Sonntag
> LG


Lieben Gruß,
Fulla

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Bezug
Integral berechnen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:45 Mo 10.07.2017
Autor: nightsusi

Guten Morgen, erstmal vielen Dank Fulla, für deine Hinweise!
Ich hab mal versucht die Stammfunktion abzuleiten um dann auf die Ausgangsfunktion zu kommen, aber irgendwie hab ich mich da verzettelt:

Um die Ableitung von [mm] F(t)=\bruch{1}{2}*tan^{-1}(2tan(\bruch{t}{2}) [/mm] zu bilden muss ich ja die Kettenregel benuzten. D.h.:

[mm] u(t)=\bruch{1}{2}tan^{-1}(t) [/mm] also [mm] u'(t)=\bruch{1}{t^2+1} [/mm]
[mm] v(t)=2tan(\bruch{t}{2}) [/mm] also [mm] v'(t)=\bruch{1}{cos^2(t)} [/mm]

[mm] F'(t)=f(t)=\bruch{1}{2}*\bruch{1}{2tan(\bruch{t}{2})+1}*\bruch{1}{cos^2(t)}=\bruch{1}{4tan(\bruch{t}{2})+2}*\bruch{1}{cos^2(t)} [/mm]

Aber wie kann ich das jetzt möglichst geschickt zusammenfassen? Da dreh ich mich irgendwie ständig im Kreis. LG

Bezug
                        
Bezug
Integral berechnen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:20 Mo 10.07.2017
Autor: Diophant

Hallo,

> Guten Morgen, erstmal vielen Dank Fulla, für deine
> Hinweise!
> Ich hab mal versucht die Stammfunktion abzuleiten um dann
> auf die Ausgangsfunktion zu kommen, aber irgendwie hab ich
> mich da verzettelt:

>

> Um die Ableitung von
> [mm]F(t)=\bruch{1}{2}*tan^{-1}(2tan(\bruch{t}{2})[/mm] zu bilden
> muss ich ja die Kettenregel benuzten. D.h.:

>

> [mm]u(t)=\bruch{1}{2}tan^{-1}(t)[/mm] also [mm]u'(t)=\bruch{1}{t^2+1}[/mm]
> [mm]v(t)=2tan(\bruch{t}{2})[/mm] also [mm]v'(t)=\bruch{1}{cos^2(t)}[/mm]

>

> [mm]F'(t)=f(t)=\bruch{1}{2}*\bruch{1}{2tan(\bruch{t}{2})+1}*\bruch{1}{cos^2(t)}=\bruch{1}{4tan(\bruch{t}{2})+2}*\bruch{1}{cos^2(t)}[/mm]

>

> Aber wie kann ich das jetzt möglichst geschickt
> zusammenfassen? Da dreh ich mich irgendwie ständig im
> Kreis. LG

Wende ersteinmal die Kettenregel korrekt an, dann sehen wir weiter. Nach deiner Nomenklatur (auf die Schreibweise für die Umkehrfunktion verzichte ich hier jedoch aus Prinzip) gilt

[mm] u(v)=\frac{1}{2}*arctan(v)=\frac{1}{2}*arctan\left(2*tan\left(\frac{t}{2}\right)\right) [/mm]

und damit

[mm] u'(v)=\frac{1}{2}*\frac{1}{v^2+1}=\frac{1}{2}*\frac{1}{\left(2tan\left(\frac{t}{2}\right)\right)^2+1} [/mm]

und auch bei v(t) hast du die Ableitung falsch, es muss

[mm] v'(t)=\frac{1}{\left(cos\left(\frac{t}{2}\right)\right)^2} [/mm]

heißen.

Um das zu knacken, musst du dich a) auf relativ aufwändige Arbeiten mit trigonometrsichen Identitäten einstellen und b) sorgfältiger arbeiten.


Gruß, Diophant

PS: in meiner Mitteilung hatte ich deine Stammfunktion als falsch bezeichnet, da ich vermutlich beim Eintippen in wolframalpha einen Fehler gemacht hatte. Ich habe das Integral vorhin mit Mathcad Prime berechnet und kann jetzt ebenfalls die Richtigkeit der Stammfunktion bestätigen.

Bezug
        
Bezug
Integral berechnen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:00 So 09.07.2017
Autor: Fulla


> Jetzt steh ich aber vor dem Problem: Mit welcher
> Substitution kommt man zu dieser Stammfunktion bzw. warum
> erhalte ich nicht [mm]\bruch{\pi}{2}?[/mm]
> [mm]\integral_{0}^{2\pi}{\bruch{dt}{5-3 cos(t)}}[/mm]

>

> [mm]=\bruch{1}{2}tan^{-1}(2tan(\bruch{t}{2}))[/mm]

>

> [mm]=(\bruch{1}{2}tan^{-1}(2tan(\bruch{2\pi}{2})))-(\bruch{1}{2}tan^{-1}(2tan(\bruch{0}{2})))[/mm]

>

> [mm]=(\bruch{1}{2}tan^{-1}(2tan(\pi)))-(\bruch{1}{2}tan^{-1}(2tan(0)))[/mm]
> [mm]=(\bruch{1}{2}tan^{-1}(0))-(\bruch{1}{2}tan^{-1}(0))[/mm]
> =0 ???

>

> Wo hat sich da mein Fehler eingeschlichen? Es wäre lieb
> wenn Ihr mir dort weiterhelfen könntet. DANKE

Hallo nochmal!

Die Stammfunktion ist an der Stelle [mm]t=\pi[/mm] nicht definiert.
Teile das Integral in [mm]\int_0^\pi\ldots + \int_\pi^{2\pi}\ldots[/mm] auf und betrachte die Grenzwerte für [mm]t\to\pi[/mm] von unten bzw. von oben.
Beachte dabei, dass [mm]\lim_{t\to\pm\infty}\tan^{-1}t=\pm\frac\pi 2[/mm].

Lieben Gruß,
Fulla

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