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Integral trigonometr. Funktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:59 Mo 16.04.2018
Autor: ElDon91

Aufgabe
Berechnen Sie [mm] \integral_{\alpha}^{\beta}{f(x) dx}. [/mm] Dabei sei f(x) = [mm] \bruch{sin(x)}{cos(x)-sin(x)+1} [/mm]

Ich habe mich mal an dem Integral versucht. Nach Musterlösung sollte herauskommen: [mm] -\bruch{x}{2}-ln|cos(\bruch{x}{2})-sin(\bruch{x}{2})|_\alpha^\beta [/mm]

Die Funktion ist definiert auf [mm] (\alpha,\beta \in ((2k+\bruch{1}{2})\pi),(2k+1)\pi) \vee (\alpha,\beta \in ((2k+1)\pi),(2k+\bruch{5}{2})\pi), [/mm] k [mm] \in \IZ [/mm]

Nach Anwendung von partieller Integration und Partialbruchzerlegung, wobei ich y = [mm] tan(\bruch{x}{2}), [/mm] dx = [mm] \bruch{2}{1+y^2} [/mm] dy, sin(x) = [mm] \bruch{2y}{1+y^2} [/mm] und [mm] cos(x)=\bruch{1-y^2}{1+y^2} [/mm] substituiert habe, komme ich (vor der Resubstitution) auf

[mm] -tan^{-1}(y)+\bruch{1}{2}ln(y^2+1)-ln(y-1) [/mm] (I)

nun könnte ich natürlich wieder [mm] y=tan(\bruch{x}{2}) [/mm] einsetzen, dann käme ich aber nicht auf das gesucht Musterergebnis, sondern ja auf

[mm] -\bruch{x}{2}+\bruch{1}{2}ln(tan^2(\bruch{x}{2})+1)-ln(tan(\bruch{x}{2})-1) [/mm] (II)

Nun meine Frage: wie kommt man von Ergebnis (I) bzw. (II) auf die Musterlösung? Geschieht dies durch Additionstheoreme oder durch einsetzen und vergleichen der gegebenen Werte für [mm] \alpha [/mm] und [mm] \beta? [/mm]

Vielen Dank :)


Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.


        
Bezug
Integral trigonometr. Funktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 02:55 Mi 18.04.2018
Autor: HJKweseleit

Musterlösung:

[mm] -\bruch{x}{2}-ln|cos(\bruch{x}{2})-sin(\bruch{x}{2})|_\alpha^\beta [/mm]

Deine Lösung nach Rücksubstitution:

[mm] -\bruch{x}{2}+\bruch{1}{2}ln(tan^2(\bruch{x}{2})+1)-ln(tan(\bruch{x}{2})-1) [/mm]

Die Grenzen [mm] \alpha [/mm] und [mm] \beta [/mm] lasse ich mal weg, ebenso die übereinstimmenden [mm] -\bruch{x}{2} [/mm] in beiden Gleichungen.

Da alle Winkel ebenfalls überall [mm] \bruch{x}{2} [/mm] heißen, lasse ich sie einfach weg.

Bleibt zu zeigen:

-ln|cos-sin| = [mm] \bruch{1}{2}ln(tan^2+1)-ln(tan-1), [/mm]   (***)

wobei du beim Integrieren beim ln auch immer die Betragsstriche hättest setzen müssen.

Nun ist aber [mm] tan^2+1 [/mm] = [mm] \bruch{sin^2}{cos^2}+1=\bruch{sin^2+cos^2}{cos^2} [/mm] = [mm] \bruch{1}{cos^2}. [/mm]

Damit wird [mm] \bruch{1}{2}ln(tan^2+1)=\bruch{1}{2}ln(\bruch{1}{cos^2})=\bruch{1}{2}(ln(1)-ln(cos^2))=\bruch{1}{2}(0-2ln(cos))=-ln(cos) [/mm]

Also ist nun die rechte Seite von (***)

-ln(cos) - ln(tan-1) = -(ln(cos)+ln(tan-1)=-ln(cos*(tan-1)) = -ln(sin-cos)
in Übereinstimmung mit der linken Seite von (***).


Bezug
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