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Forum "Integrationstheorie" - Integral über Absolutbetrag
Integral über Absolutbetrag < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Integral über Absolutbetrag: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:33 Mo 27.02.2012
Autor: schneckennudel91

Aufgabe
Sei f [mm] \in L^1(\mu). [/mm] Dann existiert zu jedem [mm] \epsilon [/mm] > 0 ein [mm] \delta [/mm] > 0, sodass [mm] \int_{E} [/mm] |f| [mm] d\mu [/mm] < [mm] \epsilon [/mm] sofern, [mm] \mu(E) [/mm] < [mm] \delta. [/mm]

Hallo zusammen!

Beschäftige mich gerade mit Maß- und Integrationstheorie und arbeite dazu mit Rudin reelle und komplexe Analysis. Darin findet sich obige Aufgabe, mit der ich gerade etwas kämpfe.
Wie würdet ihr das angehen? 
Ich habe mir überlegt, das Integral folgendermaßen abzuschätzen:
[mm] \int_{E} [/mm] |f| [mm] d\mu [/mm] < sup|f| [mm] \mu(E). [/mm]
Wenn |f| beschränkt ist, wäre das ja schon nicht schlecht, aber f kann ja auch unbeschränkt sein. Zumindest auf einer Menge vom Maß 0, sonst wäre f nicht mehr in L1.

Über Hilfe wäre ich sehr dankbar!
VG

        
Bezug
Integral über Absolutbetrag: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:10 Mo 27.02.2012
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Wie würdet ihr das angehen? 

der Beweis ist nicht "schnell" hingeschrieben, aber schwer ist er auch nicht.

>  Wenn |f| beschränkt ist, wäre das ja schon nicht
> schlecht, aber f kann ja auch unbeschränkt sein. Zumindest
> auf einer Menge vom Maß 0, sonst wäre f nicht mehr in
> L1.

Die Aussage stimmt nicht!
Die wenigsten f in [mm] L^1 [/mm] sind beschränkt!
Was aber gilt, ist, dass f nicht unendlich werden kann. Das heißt aber NICHT, dass es unbeschränkt ist!

Bspw ist $f(x) = [mm] \bruch{1}{\sqrt{x}} \in L^1\left([0,1]\right)$, [/mm] aber f ist auf jedem Intervall $[0,x], [mm] x\in [/mm] (0,1]$ unbeschränkt.

> Über Hilfe wäre ich sehr dankbar!

Definiere dir:

[mm] $g_n(x) [/mm] = [mm] \begin{cases} |f(x)|, & \mbox{für } |f(x)| \le n \\ n, & \mbox{für } |f(x)| > n \end{cases}$ [/mm]

dann gilt [mm] $g_n \to [/mm] |f|$ sowie (warum?):

[mm] $\lim_{n\to\infty} \integral_E\, g_n\,d\mu [/mm] = [mm] \integral_E\, |f|\, d\mu$ [/mm]

und damit für jedes [mm] \varepsilon [/mm] ein [mm] n_0 [/mm] so dass für alle [mm] $n\ge n_0$: [/mm]

$0 [mm] \le \integral_E\, \left(|f| - g_n\right)\,d\mu [/mm] < [mm] \bruch{\varepsilon}{2}$ [/mm]

Setze [mm] $\delta [/mm] := [mm] \bruch{\varepsilon}{2n_0}$, [/mm] dann gilt:

[mm] $\integral_E\, |f|\, d\mu \le \integral_E\, [/mm] |f| - [mm] g_{n_0}\, d\mu [/mm] + [mm] \integral_E\, g_{n_0}\, d\mu \le \bruch{\varepsilon}{2} [/mm] + [mm] n_0*\mu(E) \le \varepsilon$ [/mm]

MFG,
Gono.


Bezug
                
Bezug
Integral über Absolutbetrag: Danke und Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:00 Mo 27.02.2012
Autor: schneckennudel91

Vielen Dank für deine schnelle und verständliche Hilfe, Gono!

Habe jetzt ein bisschen drüber nachgedacht und verstanden was passiert.
Dein wieso? bezog sich auf das Vertauschen von GW und Integral, da kann ich doch den Satz von Lebesgue über dominierte Konvergenz anwenden. Die [mm] g_n [/mm] sind messbar und der Grenzwert existiert, |f| dominiert [mm] g_n [/mm] und ist eine [mm] L^1 [/mm] Funktion, damit sind die Voraussetzungen erfüllt, oder? 

Bezug
                        
Bezug
Integral über Absolutbetrag: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:08 Mo 27.02.2012
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Dein wieso? bezog sich auf das Vertauschen von GW und
> Integral, da kann ich doch den Satz von Lebesgue über
> dominierte Konvergenz anwenden. Die [mm]g_n[/mm] sind messbar und
> der Grenzwert existiert, |f| dominiert [mm]g_n[/mm] und ist eine [mm]L^1[/mm]
> Funktion, damit sind die Voraussetzungen erfüllt, oder? 

[ok]
Und nächstemal die Frage noch als Frage formulieren und nicht als Mitteilung und alles ist toll ;-)

MFG,
Gono.


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