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Integralberechnung: Idee
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:14 Mi 17.09.2014
Autor: Saschka

Aufgabe
Zeigen Sie, dass
[mm] \int_{-\infty}^{\infty} \bruch{\sin x - x}{x^2}\, [/mm] dx < [mm] \infty [/mm]

Kann mir jemand einen Tipp  geben, wie ich das zeigen soll?

Grüße, Saschka



Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Integralberechnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:28 Mi 17.09.2014
Autor: Diophant

Hallo und [willkommenmr]


> Zeigen Sie, dass
> [mm]\int_{-\infty}^{\infty} \bruch{\sin x - x}{x^2}\,[/mm] dx <
> [mm]\infty[/mm]
> Kann mir jemand einen Tipp geben, wie ich das zeigen
> soll?

Lasse dein Wissen über Potenzreihen auf den Integranden los.

PS: Deine Frage stammt ja ganz offensichtlich von irgendeinem Übungszettel oder dergleichen. Es wäre in deinem Sinne, wenn du uns in deinem Profil ein klein wenig über deinen mathematischen Hintegrund bzw. die Art deines Studiums verraten würdest, damit wir unsere Antworten dementsprechend feinjustieren können.


Gruß, Diophant

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Bezug
Integralberechnung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:52 Mi 17.09.2014
Autor: Saschka

Danke vielmals!!! Habe "0" bekommen, :)).

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Bezug
Integralberechnung: Kann nicht stimmen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:04 Mi 17.09.2014
Autor: Diophant

Hallo,

> Danke vielmals!!! Habe "0" bekommen, :)).

hm, von Konvergenz ist ja nicht die Rede, ich glaube, da muss dir ein Fehler unterlaufen sein. Du könntest deine Rechnung zur Korrektur als weitere Frage anhängen.


Gruß, Diophant

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Bezug
Integralberechnung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:09 Mi 17.09.2014
Autor: abakus


> Danke vielmals!!! Habe "0" bekommen, :)).

Vorsicht!
Der Integrand ist zwar punktsymmetrisch zum Ursprung (womit eigentlich [mm] \int_{-a}^{a}{f(x) dx}=0[/mm] gelten dürfte), aber man darf nicht so einfach über Polstellen hinwegintegrieren!
Gruß Abakus

Bezug
                                
Bezug
Integralberechnung: Rechnung
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 13:09 Mi 17.09.2014
Autor: Saschka

Zuerst wollte ich mich für Ihre schnellen Antworten bedanken :)!

Und jetzt meine Gedanken:

In Hinsicht auf  [mm] \limes_{x\rightarrow0} \bruch{\sin x - x}{x^2} [/mm] = 0  (zweifache Anwendung von der Regel von L´Hospital), habe ich mir gedacht, dass es folgenderweise gelten soll:

[mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{\bruch{\sin x - x}{x^2} dx} [/mm] = [mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{\bruch{-\bruch{x^3}{3!}+\bruch{x^5}{5!}-\bruch{x^7}{7!}+...}{x^2} dx} [/mm] = [mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{-\bruch{x}{3!}+\bruch{x^3}{5!}-.... dx}=0 [/mm] (wegen Punktsymmetrie).

Wo liege ich falsch?



Bezug
                                        
Bezug
Integralberechnung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:42 Mi 17.09.2014
Autor: Diophant

Hallo,

um welchen Integralbegriff geht es denn hier, Riemann oder vielleicht Cauchyscher Hauptwert?


Gruß, Diophant

Bezug
                                                
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Integralberechnung: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 15:02 Mi 17.09.2014
Autor: Saschka

Hallo,

es geht um ein Riemann/Lebesgue-Integral. Ich soll eigentlich zeigen, dass die Fourier-Transformierte F(y) der Funktion
f(x) = [mm] \begin{cases} max(K-x,0), & \mbox{für } x\in [0,\infty) \\ 0, & \mbox{sonst } \end{cases} [/mm]
für K>0 absolut integrierbar ist (für die Verwendung der inversen Transformation). Als F(y) habe ich [mm] \bruch{1-\cos(Ky)}{y^2} [/mm] + i [mm] \bruch{\sin(Ky)-Ky}{y^2} [/mm] herausbekommen. Nun soll ich beweisen, dass [mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{ | F(y) | dx}<\infty [/mm] .  Ich dachte, dafür ist  es genug z.z., dass [mm] \bruch{1-\cos(Ky)}{y^2} [/mm] und [mm] \bruch{\sin(Ky)-Ky}{y^2} [/mm] absolut int'bar sind. Jetzt bezweifle ich es schon.

Kann mir jemand helfen?

Grüße, Saschka

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Bezug
Integralberechnung: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:20 Fr 19.09.2014
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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Bezug
Integralberechnung: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:20 Fr 19.09.2014
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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