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Integralgleichung lösen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:30 Di 22.01.2013
Autor: waruna

Aufgabe
Ich wollte folgende Integralgleichung numerisch lösen:
[mm] \gamma(t)=\int\limits_0^tdse^{-i(t-s)-\int\limits_s^tdy(-isin(y)\theta(10-y)-\gamma(y))} [/mm]
(mit [mm] \theta [/mm] - Heaviside-Funktion)

Ich versuchte das mit Iteration machen (ich sage gleich: ich habe keine/ sehr geringere Erfahrung mit Integrationsgleichungen und Mathematika), habe folgendes funktion definiert:
g[t_, x_] :=
NIntegrate[(Exp[-I*(t - s) -
     Integrate[(-I*Sin[y]*HeavisideTheta[10 - y] - x), {y, s,
       t}]]), {s, 0, t}]
und will so was ausrechnen g[t,g[t,g[t, g[t,...] ] ] ] nach ein Paar Iterationen ploten als Funktion von t.
Das Problem ist, dass schon wenn ich  g[20,y] ausrechnen will bekomme ich Fehler  
NIntegrate::inumr: "The integrand [mm] ConditionalExpression[E^{200-I\(20-s)-s^2/2-I\(Cos[10]-Cos[s])},s<10] [/mm] has evaluated to non-numerical values for all sampling points in the region with boundaries {{10.,20}}. "
und Mathematika hat überhaupt erhebliche Probleme um etwas zu berechnen.

Mache ich das überhaupt sinnvoll?

        
Bezug
Integralgleichung lösen: Tipp
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:55 Sa 26.01.2013
Autor: hieron

Hallo waruna,

also ich habs in mathematica 7 probiert. Soweit funktioniert's, aber es scheint eben ein Problem mit dem geeigneten Anfangswert x zu sein. Beispielsweise funktioniert's mit g[50,2].

Viel Glueck hieron

Bezug
        
Bezug
Integralgleichung lösen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:41 Do 14.02.2013
Autor: Peter_Pein

Versuch 2, nachdem Chrome die bisherige Eingabe "gefressen hatte":

Hallo,

Mathematica kann vieles besser - oder überhaupt erst - berechnen, wenn es Informationen über die beteiligten Variablen bekommt (genau wie Du & ich).

Das innere Integral lässt sich recht einfach symbolisch berechnen:

1: inneresIntegral[x_, s_, t_] =
2:   Assuming[{s, t, x, y} \[Element] Reals && 0 < s < t,
3:   Collect[
4:    Integrate[(-I*Sin[y]*HeavisideTheta[10 - y] - x), {y, s, t}] //
5:     ExpandAll,
6:    _HeavisideTheta, FullSimplify
7:    ]
8:   ]

mit dem Ergebnis:
[mm]x (s-t)+\theta (10-s) (i (\cos (10)-\cos (s))-i \theta (10-t) (\cos (10)-\cos (t)))[/mm]

Dies hängt offenbar davon ab, ob s bzw. t kleiner oder größer als 10 sind. Da die numerische Integration oft Schwierigkeiten bekommt, wenn sie an Unstetigkeitsstellen des Integranden gerät, ist es ratsam, eine Fallunterscheidung zu machen. Dann geht's im Allgemeinen schneller und genauer (siehe verlinktes Notebook).

Möglich, dass Mma es sogar schafft, das äußere Integral zu berechnen, aber meine Geduld reichte nicht aus [sorry].


Einzelheiten entnimm bitte dem Notebook in meiner []Dropbox

Gruß,
Peter

Bezug
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