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Forum "Funktionalanalysis" - Integraloperator in C
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Integraloperator in C: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:54 Sa 04.11.2017
Autor: sanadros

Aufgabe
Sei I : C[0, 1] \to C[0, 1], f \to If der durch (If)(x) = \int_{0}^{x} f(s)ds defnierte Integraloperator. Zeigen Sie, dass I ein stetiger linearer Operator auf (C[0, 1]; \parallel \cdot \parallel_{p}) für alle 1 \le p \le \infty ist, und schätzen Sie jeweils seine Norm ab.
Zusatzfragen: Ist I injektiv, surjektiv, bijektiv?

Also was mir ziemlich schnell aufgefallen ist, ist dass dieser Operator sehr ähnlich aussieht wie ein Volterra Operator und wenn man den auf Wikipedia nachschlagt findet man dass der Volterra Operator eine Hilbert-Schmidt-Operator ist und damit linear und stetig. Der kleine Unterschied ist das Volterra Operatoren in [mm] L^{p} [/mm] Räumen leben unserer jedoch in einem C-Raum lebt. Daher war mein erster Ansatzt herauszufinden ob es eine Relation zwischel [mm] L^{p} [/mm] Räume gibt oder nicht. Allerdings nach genauerem Überlegen dachte ich mir das [mm] L^{p} [/mm] Räume doch einfach die p-fach Integrierbaren Funktionen sind. Da wir hier ja in einem Beschränkten (richtiger Begriff?) Bereich zwischen 0 und 1 sind, sind stetige Operatoren immer p-fach integrierbar. Jetzt weiss ich nur nicht ob ich da auf dem Richtigen weg bin und wie ich meine Gedanken dann auch noch ordentlich Ordnen kann.
Linearität: Kann man da einfach argumentieren dass Linearität gegeben ist wegen dem Integral oder muss das genauer bewiesen werden wegen der variablen Grenze des Integrals.

        
Bezug
Integraloperator in C: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:23 Sa 04.11.2017
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

>  Also was mir ziemlich schnell aufgefallen ist, ist dass
> dieser Operator sehr ähnlich aussieht wie ein Volterra
> Operator und wenn man den auf Wikipedia nachschlagt findet
> man dass der Volterra Operator eine
> Hilbert-Schmidt-Operator ist und damit linear und stetig.
> Der kleine Unterschied ist das Volterra Operatoren in [mm]L^{p}[/mm]
> Räumen leben unserer jedoch in einem C-Raum lebt. Daher
> war mein erster Ansatzt herauszufinden ob es eine Relation
> zwischel [mm]L^{p}[/mm] Räume gibt oder nicht.

Schöne Überlegungen… allerdings nicht zielführend :-)

>  Allerdings nach genauerem Überlegen dachte ich mir das [mm]L^{p}[/mm] Räume doch einfach die p-fach Integrierbaren Funktionen sind. Da wir  hier ja in einem Beschränkten (richtiger Begriff?) Bereich zwischen 0 und 1 sind, sind stetige Operatoren immer p-fach integrierbar.

Ok, hier würfelst du einiges durcheinander.
Erst mal: Wo sind wir "hier" in einem "beschränkten Bereich"? Du meinst sicherlich $[0,1]$, was ein kompaktes Intervall ist, und stetige Funktionen auf kompakten Intervallen sind immer p-fach integrierbar, das stimmt. (Wenn du noch kurz erwähnst, wieso, ist alles gut ^^)
Andererseits redest du von "Operatoren" und "hier".
Der Operator, den du betrachtest, "lebt" ja auf $C[0,1]$, was etwas ganz anderes als das Intervall $[0,1]$ ist!

Mach dir folgendes klar: Der Operator I bildet eine Funktion f aus $C[0,1]$ auf eine neue Funktion in $C[0,1]$ ab! Dabei "lebt" das Argument $f$ auf dem kompakten Intervall $[0,1]$

> Jetzt weiss ich nur nicht ob ich da auf dem Richtigen weg bin und wie ich meine Gedanken dann auch noch ordentlich Ordnen kann.

Da haben wir ja oben schon mit angefangen. Ein Beginn wäre auf jeden Fall mal, die Begriffe sich anständig klarzumachen.

>  Linearität: Kann man da einfach argumentieren dass Linearität gegeben ist wegen dem Integral

Gegenfrage: Wann ist der Operator I denn linear? Schreibe das mal sauber auf, dann wirst du ganz schnell feststellen, dass ein Einwand:

> oder muss das genauer bewiesen werden wegen der variablen Grenze des Integrals.

gar kein Einwand mehr ist. Denn die Grenze spielt gar keine Rolle.
Ich würde sogar so weit gehen, dass man das alles viel besser versteht, wenn man die Abbildung so aufschreiben würde:
$I(f) = [mm] \int_0^\cdot [/mm] f(s) ds$
Das Argument später, spielt nämlich gar keine wirklich Rolle, weil der Operator Funktionen auf Funktionen abbildet. Und dabei ist das Argument der Funktion irrelevant.

Gruß,
Gono

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Integraloperator in C: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:07 So 05.11.2017
Autor: sanadros

OK Linearität habe ich einmal argumentiert dass das Integral ein Spezialfall der Summe ist und daher linear ist und der Kern k=1 ist ist sowieso linear. Bei der Stetigkeit kann man ja wieder argumentieren dass der Kern k=1 stetig ist und die Funktion auch, daher ist die Multiplikation zweier stetiger Funktionen auch wieder stetig. Wendet man nun das Integral auf eine Stetige Funktion an dann erhält man auch Stetigkeit. Das einzige was für mich ein bisschen unklar ist ob das jetzt nur für C[0,1] gilt oder für das ganze (C[0, 1]; \parallel \cdot \parallel_{p})?

Und dann noch Norm abschätzen. Einfach mal [mm] L_p [/mm] Norm darauf anwenden scheint mir nicht ziemlich sinnvoll zu sein.

Schlussendlich noch die Zusatzfrage injektive, surjektiv, bijektiv da habe ich überhaupt keine Ahnung wie man das Beweisen könnte weil ja in FA die Begriffe nicht mehr alle das Gleiche bedeuten.

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Bezug
Integraloperator in C: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:18 So 05.11.2017
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> OK Linearität habe ich einmal argumentiert

alles was danach von dir kam, ignorieren wir mal. Als Korrektor würde ich das als Geschwafel ohne Beweis abtun… "argumentieren" ist kein Beweis… zumal der Beweis hier deutlich einfacher und kürzer zu führen ist, als deine "Argumentation"!

Der Operator $I$ ist linear, wenn für alle $f,g [mm] \in [/mm] C[0,1]$ und alle $a,b [mm] \in \IR$ [/mm] gilt: $I(af + bg) = aI(f) + bI(g)$
Zeige das!

> Und dann noch Norm abschätzen. Einfach mal [mm]L_p[/mm] Norm darauf
> anwenden scheint mir nicht ziemlich sinnvoll zu sein.

Das ist sogar sehr sinnvoll.
Zeige: $I$ ist auf  $ (C[0, 1]; [mm] \parallel \cdot \parallel_{p}) [/mm] $ beschränkt. Damit ist $I$ ein linearer, beschränkter Operator. Was folgt dann?

> Schlussendlich noch die Zusatzfrage injektive, surjektiv,
> bijektiv da habe ich überhaupt keine Ahnung wie man das
> Beweisen könnte weil ja in FA die Begriffe nicht mehr alle
> das Gleiche bedeuten.

Das Gleiche bedeuten sie nirgends. Wenn du aber meinst, dass sie was anderes bedeuten als sonst, dann stimmt das ebenfalls nicht.

1.) Für die Injektivität kannst du entweder den Kern von I betrachten, oder du gehst den Standardweg und zeigst, dass aus $I(f) = I(g)$ immer $f=g$ folgt.

2.) Für die Surjektivität überlege mal, was dir der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung über I(f) verrät.

Gruß,
Gono



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Bezug
Integraloperator in C: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:05 Mo 06.11.2017
Autor: fred97


> OK Linearität habe ich einmal argumentiert dass das
> Integral ein Spezialfall der Summe ist und daher linear ist
> und der Kern k=1 ist ist sowieso linear.


Was soll das denn bedeuten ??? Ich kann mich meinem Vorredner nur anschließen: Geschwafel......

Ist es denn so schwer?,  einfach mal hinschreiben:

[mm] $\integral_{0}^{x}{( \alpha f(s) +\beta g(s)) ds}= \alpha \integral_{0}^{x} [/mm] f(s) ds + [mm] \beta \integral_{0}^{x} [/mm] g(s) ds$ für alle $x [mm] \in [/mm] [0,1]$.

Konsequenz: $ [mm] I(\alpha [/mm] f+ [mm] \beta [/mm] g)= [mm] \alpha [/mm] I(f)+ [mm] \beta [/mm] I(g)$

und fertig ist die Linearität.


>  Bei der Stetigkeit
> kann man ja wieder argumentieren dass der Kern k=1 stetig
> ist und die Funktion auch, daher ist die Multiplikation
> zweier stetiger Funktionen auch wieder stetig. Wendet man
> nun das Integral auf eine Stetige Funktion an dann erhält
> man auch Stetigkeit. Das einzige was für mich ein bisschen
> unklar ist ob das jetzt nur für C[0,1] gilt oder für das
> ganze (C[0, 1]; \parallel \cdot \parallel_{p})?

Wieder Blabla.... Dir scheint nicht klar zu sein, was Stetigkeit bei einem linearen Operator (auf einem normierten Raum) bedeutet. Stetigkeit ist gleichbedeutend mit Beschränktheit und letzteres bedeutet für obigen Operator:

I ist stetig [mm] \gdw [/mm] es ex. ein $c [mm] \ge [/mm] 0$ mit

(*) [mm] $||I(f)||_p \le c||f||_p$ [/mm]  für alle $f [mm] \in [/mm] C[0,1]$.

In diesem Fall ist die Operatornorm def. durch

$||I|| = [mm] \min \{c \ge 0: ||I(f)||_p \le c||f||_p \forall f \in C[0,1] \}$. [/mm]


>  
> Und dann noch Norm abschätzen. Einfach mal [mm]L_p[/mm] Norm darauf
> anwenden scheint mir nicht ziemlich sinnvoll zu sein.

Quatsch ! Siehe oben.

>  
> Schlussendlich noch die Zusatzfrage injektive, surjektiv,
> bijektiv da habe ich überhaupt keine Ahnung wie man das
> Beweisen könnte weil ja in FA die Begriffe nicht mehr alle
> das Gleiche bedeuten.

Was ist das für ein Unsinn ! Ich nehme an, FA bedeutet Funktionalanalysis und nicht Frauenarzt.

Dir scheint nicht klar zu sein, was der Operator I macht. Ist $ f [mm] \in [/mm] C[0,1]$, so ist I(f) die eindeutig bestimmte Stammfunktion F von f mit F(0)=0.

Injektivität im Falle eines linearen Operators ist gleichbedeutend damit dass sein Kern nur aus dem Nullelement besteht. In unserem Fall ist also die Frage:

folgt aus I(f)=0 (=Nullfunktion) stets, dass f=0 ist ?

Sei also F=I(f)=0. Dann ist F eine Stammfunktion von f . Also ist f=F'. Was folgt also für f ?

Surjektivität: Wir nehmen mal an, I wäre surjeltiv. Ist dann  $ g [mm] \in [/mm] C[0,1]$, so ex. ein  $ f [mm] \in [/mm] C[0,1]$ mit g=I(f). g ist also eine Stammfunktion von f. Damit ist g differenzierbar auf [0,1].

Fazit: Wäre I surjektiv, so wäre jedes $ g [mm] \in [/mm] C[0,1]$ auch differenzierbar.

Ist das richtig ????


Bezug
                                
Bezug
Integraloperator in C: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:15 Di 07.11.2017
Autor: sanadros

OK thx, sry dass ich chaotisch bin aber mit ADHS und Legasthenie bin ich leider nicht sprachbegabt. Daher war ich im Rückblick froh dass ich in den Ingeneursfächern viel weniger Text schreiben musste als im Mathestudium. Nur leider jetzt lerne ich das Beweisen auf eine harte Tour. Lösung schreibe ich noch später.

Bezug
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