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Integralrechnung e^(): Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:24 Mo 08.08.2016
Autor: scy

Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

Aufgabe
$\int_u e^{ \frac{(-u_i)^2}{2 \sigma^2} +  \frac{u_i}{\sigma_i^2} x} du$

Und zwar würde ich gerne dieses Integral lösen.
Dabei ist mir bewusst, dass ich die e Fkt in zwei durch Multiplikation verbundene e-Fkt wandeln kann.
Da das ganze aus einer Gauß-Bernoulli Verteilung kommt, kann man eine Vereinfachung tätigen bzgl des Bereiches:

$e^{ \frac{(-u_i)^2}{2 \sigma^2}} $ Denn daraus müsste sich m.E. dann mit ergeben, dass der Bereich des Integrals zu:
$\frac{1}{\sqrt(2 \pi \sigma^2}e^{ \frac{(-u_i)^2}{2 \sigma^2}}  =1 $ ergibt.

Ich hoffe ihr könnt mir helfen /mir auf die Sprünge helfen, wie ich das Integral richtig anpacke.

(der ganze Term ist bereits stark vereinfacht, der ursprüngliche Term sah folgendermaßen aus:


$ \int_u e^{-\sum_{i=1}^{V} \frac{(u_i-b_i)^2}{2 \sigma_i^2}+ \sum_{j=1}^H b_jh_j+ \sum_{i=1}^V \sum_{j=1}^H \frac{u_i}{\sigma_i}h_jw_{ij}} du$
Ich habe dabei die Summe in der E-Fkt bereits rausgezogen und in die Produktform gewandelt, sowie die Bereiche die nichts mit u zu tun haben vorgezogen, so dass ich quasi bei diesem Schritt hier bin (was ich bei der eigentlichen Aufgabenstellug aber rausgelassen habe)

$\Pi_{i=1}^V \left [\left ( e^{\frac{-b_i^2}{2\sigma_i} + \sum_{j=1}^H b_jh_j} \right ) \cdot \left ( \int_u e^{ \frac{(-u_i)^2}{2 \sigma^2} +  \frac{u_i}{\sigma_i^2} \cdot \left (b_i + \sum_{j=1}^H h_jw_{ij} \sigma_i\right)} }du \right ) \right ]$

Was ich als Vereinfachung der Fragestellung ein wenig substituiert habe zu:
$\int_u e^{ \frac{(-u_i)^2}{2 \sigma^2} +  \frac{u_i}{\sigma_i^2} x} du$
Wie es bereits in der Fragestellung steht. Ich hoffe ihr könnt mir weiterhelfen.




        
Bezug
Integralrechnung e^(): Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:01 Mo 08.08.2016
Autor: leduart

Hallo
was hat du mit [mm] u_i [/mm] zu tun?
kannst du nicht einfach den Exponenten durch quadratische Ergänzung auf [mm] e^{(u_i+2)^2/(2*\sigma^2) }bringen? [/mm]
oder ist [mm] \sigma_i [/mm] was anderes als [mm] \sigma [/mm]
was bedeutet der Bereich u über den du integrierst?
Gruß leduart

Bezug
                
Bezug
Integralrechnung e^(): Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:06 Mo 08.08.2016
Autor: scy

Kann geschlossen werden,
hab die Lösung durch ausklammern und Vereinfachung erhalten

über i - iteriert war es, weil das Integral (wie man den unteren Beschreibungen von meinem Eingangspost entnehmen kann, da es über i läuft.

Stand vorhin nur 2h auf dem Schlauch. Hab die Bereiche sauber getrennt die von u abhängig waren, vor das Integral gezogen und anschließend das leichte Integral dann gelöst.


Vielen Dank!

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