matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenIntegrationIntegralumformung
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Geschichte • Erdkunde • Sozialwissenschaften • Politik/Wirtschaft
Forum "Integration" - Integralumformung
Integralumformung < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Integration"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Integralumformung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 03:02 Do 20.07.2017
Autor: X3nion

Hallo zusammen!

Im Forster gibt es einen Beweis über die Binomische Reihe, bei welchem ich etwas nicht verstehe.

Sei [mm] R_{n+1}(x) [/mm] = (n+1) [mm] \vektor{\alpha\\n+1} \integral_{0}^{x}{(x-t)^{n}(1+t)^{\alpha - n - 1} dt} [/mm] für [mm] \alpha \in \IR [/mm] mit [mm] \alpha \notin \IN [/mm] und x [mm] \not= [/mm] 0 die Integraldarstellung des Restgliedes.


1) Wieso gilt dann für -1 < x < 0:

[mm] |R_{n+1}(x)| [/mm] = (n+1) * [mm] \left|\vektor{\alpha\\n+1} \integral_{0}^{|x|}{(x+t)^{n}(1-t)^{\alpha-n-1}dt}\right| [/mm] = [mm] \left|\alpha\vektor{\alpha-1\\n} \integral_{0}^{|x|}{(|x| - t|)^{n}(1-t)^{\alpha-n-1}dt}\right| [/mm] ?


2) Wieso gilt [mm] \left|\alpha\vektor{\alpha-1\\n}\right| |x|^{n} \integral_{0}^{|x|}{(1-t)^{\alpha-1}dt} [/mm]

[mm] \le [/mm] C [mm] \left|\vektor{\alpha-1\\n}x^{n}\right| [/mm] mit C:= [mm] |\alpha| \integral_{0}^{|x|}{(1-t)^{\alpha-1}dt} [/mm] ?

Dies würde ja auf die Ungleichung [mm] \left|\vektor{\alpha-1\\n}\right| |x|^{n} \le \left|\vektor{\alpha-1\\n}x^{n}\right| [/mm] führen, welche aber keinen Sinn für mich ergibt.


Für eure Hilfe wäre ich dankbar!

Viele Grüße,
X3nion



        
Bezug
Integralumformung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:50 Do 20.07.2017
Autor: HJKweseleit


> Hallo zusammen!
>  
> Im Forster gibt es einen Beweis über die Binomische Reihe,
> bei welchem ich etwas nicht verstehe.
>  
> Sei [mm]R_{n+1}(x)[/mm] = (n+1) [mm]\vektor{\alpha\\n+1} \integral_{0}^{x}{(x-t)^{n}(1+t)^{\alpha - n - 1} dt}[/mm]
> für [mm]\alpha \in \IR[/mm] mit [mm]\alpha \notin \IN[/mm] und x [mm]\not=[/mm] 0 die
> Integraldarstellung des Restgliedes.
>  
>
> 1) Wieso gilt dann für -1 < x < 0:
>  
> [mm]|R_{n+1}(x)|[/mm] = (n+1) * [mm]\left|\vektor{\alpha\\n+1} \integral_{0}^{|x|}{(x+t)^{n}(1-t)^{\alpha-n-1}dt}\right|[/mm]
> = [mm]\left|\alpha\vektor{\alpha-1\\n} \integral_{0}^{|x|}{(|x| - t|)^{n}(1-t)^{\alpha-n-1}dt}\right|[/mm]
> ?

Substituiere t=-u mit dt=-du.

(n+1) [mm]\vektor{\alpha\\n+1} \integral_{0}^{x}{(x-t)^{n}(1+t)^{\alpha - n - 1} dt}[/mm] = (n+1) [mm]\vektor{\alpha\\n+1} \integral_{0}^{-x}{(x+u)^{n}(1-u)^{\alpha - n - 1} (-du)}[/mm]=
- (n+1) [mm]\vektor{\alpha\\n+1} \integral_{0}^{-x}{(x+u)^{n}(1-u)^{\alpha - n - 1} du}[/mm]

(Ich bleibe jetzt beim Buchstaben u statt t.)

Da x negativ ist, ist -x = |x|. Außerdem spielt das Minuszeichen vor dem Integral bei der Betragsbetrachtung keine Rolle.

Es ist [mm] \vektor{\alpha\\n+1} [/mm] = [mm] \bruch{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)...n+1 Faktoren}{1*2*3...*(n+1)}=\bruch{\alpha}{(n+1)}*\bruch{(\alpha-1)(\alpha-2)...n Faktoren}{1*2*3...*n}=\bruch{\alpha}{(n+1)}*\vektor{\alpha-1\\n}. [/mm]

(n+1) vor dem Integral kürzt sich dann noch weg.

Nun zur Klammer [mm] (x+u)^{n}. [/mm] Da x negativ ist, kann man dafür wieder -|x| schreiben und erhält [mm] (-|x|+u)^{n}. [/mm] Da wegen der  Betragsbetrachtung das Vorzeichen eines Faktors keine Rolle spielt, kann man die Klammer auch durch [mm] (|x|-u)^n [/mm] ersetzen. (unabhängig von n gerade oder ungerade)

Da u zwischen 0 und |x| liegt (s.Integrationsgrenzen) und positiv [mm] \le1 [/mm] ist, ist [mm] 1\ge|x|\ge|x|-u\ge0 [/mm] und damit betragsmäßig auch [mm] |x|^n\ge (|x|-u)^n. [/mm]

Das [mm] \le [/mm] -Zeichen zwischen den beiden fogenden Termen muss daher schon früher stehen, beide Terme sind gleich, wie du selber schon bemerkt hast.

>  
>
> 2) Wieso gilt [mm]\left|\alpha\vektor{\alpha-1\\n}\right| |x|^{n} \integral_{0}^{|x|}{(1-t)^{\alpha-1}dt}[/mm]
>  
> [mm]\le[/mm] C [mm]\left|\vektor{\alpha-1\\n}x^{n}\right|[/mm] mit C:=
> [mm]|\alpha| \integral_{0}^{|x|}{(1-t)^{\alpha-1}dt}[/mm] ?
>  
> Dies würde ja auf die Ungleichung
> [mm]\left|\vektor{\alpha-1\\n}\right| |x|^{n} \le \left|\vektor{\alpha-1\\n}x^{n}\right|[/mm]
> führen, welche aber keinen Sinn für mich ergibt.
>  
>
> Für eure Hilfe wäre ich dankbar!
>  
> Viele Grüße,
>  X3nion
>  
>  


Bezug
                
Bezug
Integralumformung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 01:08 Mo 24.07.2017
Autor: X3nion

Hallo und vielen Dank für die ausführliche Antwort, Punkt 1) ist mir nun völlig klar!

Zu Punkt 2) nochmals:

Im Forster steht die folgende Ungleichung:

[mm] \left|\alpha\vektor{\alpha-1\\n}\right| |x|^{n} \integral_{0}^{|x|}{(1-t)^{\alpha-1}dt} \le [/mm] C [mm] \left|\vektor{\alpha-1\\n}x^{n}\right| [/mm] mit C:= [mm] |\alpha| \integral_{0}^{|x|}{(1-t)^{\alpha-1}dt}? [/mm]

Dies ist ja genau dann der Fall, wenn $ [mm] \left|\vektor{\alpha-1\\n}\right| |x|^{n} \le \left|\vektor{\alpha-1\\n}x^{n}\right| [/mm] $ ist.


Könnt ihr mir das vielleicht noch erläutern?


Viele Grüße,
X3nion

Bezug
                        
Bezug
Integralumformung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:01 Mi 26.07.2017
Autor: fred97


> Hallo und vielen Dank für die ausführliche Antwort, Punkt
> 1) ist mir nun völlig klar!
>  
> Zu Punkt 2) nochmals:
>  
> Im Forster steht die folgende Ungleichung:
>
> [mm]\left|\alpha\vektor{\alpha-1\\n}\right| |x|^{n} \integral_{0}^{|x|}{(1-t)^{\alpha-1}dt} \le[/mm]
> C [mm]\left|\vektor{\alpha-1\\n}x^{n}\right|[/mm] mit C:= [mm]|\alpha| \integral_{0}^{|x|}{(1-t)^{\alpha-1}dt}?[/mm]
>  
> Dies ist ja genau dann der Fall, wenn
> [mm]\left|\vektor{\alpha-1\\n}\right| |x|^{n} \le \left|\vektor{\alpha-1\\n}x^{n}\right|[/mm]
> ist.
>  
>
> Könnt ihr mir das vielleicht noch erläutern?

Für reelle Zahlen a und b gilt: $|ab|=|a||b|.$

>  
>
> Viele Grüße,
>  X3nion


Bezug
                                
Bezug
Integralumformung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:03 Mi 26.07.2017
Autor: X3nion

Hallo Fred,

> Für reelle Zahlen a und b gilt: [mm]|ab|=|a||b|.[/mm]

ja Danke, die Gleichheit ist mir bekannt.
Setze ich a = [mm] \vektor{\alpha-1\\n}, [/mm] b = [mm] x^{n} [/mm]
so ergibt sich mit  |ab| = |a||b| :

[mm] \left|\vektor{\alpha-1\\n}x^{n}\right| [/mm] = [mm] \left|\vektor{\alpha-1\\n}\right| |x^{n}| [/mm] = [mm] \left|\vektor{\alpha-1\\n}\right| |x|^{n} [/mm]

Aber wo soll hier die Ungleichung

[mm] \left|\vektor{\alpha-1\\n}\right| |x|^{n} \le \left|\vektor{\alpha-1\\n}x^{n}\right| [/mm]

entstehen? War das ein Tippfehler? Denn der Fall "<" tritt ja eigentlich nie ein.

Viele Grüße,
X3nion


Bezug
                                        
Bezug
Integralumformung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:20 Mi 26.07.2017
Autor: HJKweseleit

Hallo, X3nion,

ich hatte dir in meinem Beitrag schon mitgeteilt, dass du Recht hast: an der Stelle gilt die Gleichheit. Das [mm] \le [/mm] -Zeichen muss schon eine Umformung vorher kommen. Und zwar, weil

  [mm] (|x|-u)^n \le|x|^n [/mm]

ist.

Bezug
                                                
Bezug
Integralumformung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:52 Mi 26.07.2017
Autor: X3nion


> Hallo, X3nion,
>  
> ich hatte dir in meinem Beitrag schon mitgeteilt, dass du
> Recht hast: an der Stelle gilt die Gleichheit. Das [mm]\le[/mm]
> -Zeichen muss schon eine Umformung vorher kommen. Und zwar,
> weil
>  
> [mm](|x|-u)^n \le|x|^n[/mm]
>  
> ist.  


Hallo und Danke für die Aufklärung!

Ja das war ein kleines Missverständnis von meiner Seite aus, ich habe das "Du hast Recht" auf meine Anmerkung im ersten Beitrag bezogen, dass die Ungleichung keinen Sinn ergibt, aber die Tatsache mit der Betragsgleichung |ab| = |a||b| ist mir erst jetzt klar geworden und somit, warum die Ungleichung nicht stimmen kann.


Viele Grüße,
X3nion

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Integration"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


Alle Foren
Status vor 3h 07m 1. riju
UStoc/Bayesscher Rand
Status vor 10h 39m 3. Tabs2000
UAnaR1FunkDiff/Ableiten einer Doppelsumme
Status vor 10h 47m 12. Gonozal_IX
MaßTheo/Messbarkeit
Status vor 13h 19m 10. donquijote
UAnaRn/Satz über implizite Funktionen
Status vor 14h 49m 9. rabilein1
S5-7/Maßband-Ausschnitt
^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]