matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenIntegralrechnungIntegration
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Informatik • Physik • Technik • Biologie • Chemie
Forum "Integralrechnung" - Integration
Integration < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Integralrechnung"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Integration: cos^2(pi*x)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:29 So 13.03.2016
Autor: SusanneK

Aufgabe
[mm]\int_{-1}^{1} cos^2(\pi x) dx[/mm]

Hallo,
ich weiß, dass das Ergebnis 1 ist und wie ich ohne Substitution darauf komme.
Wenn ich aber mit Substitution [mm]\pi x=u[/mm] das Ganze ausrechne, dann komme ich auf ein anderes Ergebnis und ist stehe total auf dem Schlauch und finde den Fehler nicht:
[mm]\int_{-1}^{1} cos^2(\pi x)dx = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} cos^2(u) du = 0-\int_{-\pi}^{\pi} -sin^2(u) du = 0+ \int_{-\pi}^{\pi}1-cos^2(u) du = \int_{-\pi}^{\pi} 1 du - \int_{-\pi}^{\pi} cos^2(u) du[/mm]

Jetzt mache ich die Substitution rückgängig und erhalte:
[mm]\int_{-1}^{1} cos^2(\pi x) dx = 2\pi - \pi \int_{-1}^1 cos^2(\pi x) dx[/mm]

und dann insgesamt
[mm]\int_{-1}^1} cos^2(\pi x) dx = \frac{2\pi}{1+\pi} \neq 1[/mm]

Wo ist mein Rechenfehler ?

Danke im Voraus !

        
Bezug
Integration: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:56 So 13.03.2016
Autor: Steffi21

Hallo, die Substitution [mm] u=\pi*x [/mm] ist ok, du bekommst (ich schreibe ohne Grenzen)

[mm] \bruch{1}{\pi}*\integral_{}^{}{cos^2(u) du} [/mm]

[mm] =\bruch{1}{\pi}*\integral_{}^{}{\bruch{1}{2}cos(2u)+\bruch{1}{2} du} [/mm]

[mm] =\bruch{1}{\pi}[\bruch{1}{2}*sin(u)*cos(u)+\bruch{1}{2}*u] [/mm]

[mm] =\bruch{1}{\pi}[\bruch{1}{2}*sin(\pi*x)*cos(\pi*x)+\bruch{1}{2}*\pi*x] [/mm]

jetzt Genzen einsetzen,

für obere Grenze 1 bekommst du: [mm] \bruch{1}{\pi}*[0+\bruch{1}{2}\pi]=\bruch{1}{2} [/mm]

für untere  Grenze -1 bekommst du: [mm] \bruch{1}{\pi}*[0-\bruch{1}{2}\pi]=-\bruch{1}{2} [/mm]

Steffi



Bezug
                
Bezug
Integration: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:06 So 13.03.2016
Autor: SusanneK

Hallo Steffi,
danke für deine Antwort !
Ich kann deine Rechnung nachvollziehen, ich weiß aber immer noch nicht, wo in meiner Rechnung der Fehler liegt.

Kann den jemand erkennen ?



Bezug
                        
Bezug
Integration: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:10 So 13.03.2016
Autor: fred97

den Faktor [mm] \bruch {1}{\pi} [/mm] hast du verschlampt

fred

Bezug
                                
Bezug
Integration: Frage (reagiert)
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 16:14 So 13.03.2016
Autor: SusanneK

Hallo Fred,
danke für Deine Antwort !

Wo habe ich den verschlampt ?

Auf der linken Seite steht nach der Substitution
[mm]\frac{1}{\pi} \int_{-1}^{1} cos^2(\pi x) \pi dx[/mm]
und dann fällt der Faktor weg.
Oder meintest Du woanders ?

Bezug
        
Bezug
Integration: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:42 So 13.03.2016
Autor: angela.h.b.


> [mm]\int_{-1}^{1} cos^2(\pi x) dx[/mm]
>  Hallo,
>  ich weiß, dass das Ergebnis 1 ist und wie ich ohne
> Substitution darauf komme.
>  Wenn ich aber mit Substitution [mm]\pi x=u[/mm] das Ganze
> ausrechne, dann komme ich auf ein anderes Ergebnis und ist
> stehe total auf dem Schlauch und finde den Fehler nicht:

Hallo,

Du hattest den Faktor [mm] \bruch{1}{\pi} [/mm] verloren.

>  [mm]\int_{-1}^{1} cos^2(\pi x)dx = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} cos^2(u) du = \red{\bruch{1}{\pi}}(0-\int_{-\pi}^{\pi} -sin^2(u) du )= \red{\bruch{1}{\pi}}(0+ \int_{-\pi}^{\pi}1-cos^2(u) du )= \red{\bruch{1}{\pi}}(\int_{-\pi}^{\pi} 1 du - \int_{-\pi}^{\pi} cos^2(u) du[/mm])
>  
> Jetzt mache ich die Substitution rückgängig und erhalte:
>  [mm]\int_{-1}^{1} cos^2(\pi x) dx = \red{\bruch{1}{\pi}}(2\pi - \pi \int_{-1}^1 cos^2(\pi x) dx[/mm][mm] =2-\int_{-1}^1 cos^2(\pi [/mm] x) dx
>  
> und dann insgesamt

das Gewünschte.

LG Angela


>  [mm]\int_{-1}^1} cos^2(\pi x) dx = \frac{2\pi}{1+\pi} \neq 1[/mm]
>  
> Wo ist mein Rechenfehler ?
>  
> Danke im Voraus !


Bezug
                
Bezug
Integration: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:48 So 13.03.2016
Autor: SusanneK

Ahhh...jetzt sehe ich es auch...DANKE, Angela !!
Das war dann der Faktor, den Fred meinte.
Der Sonntag ist gerettet ;-)

Ich danke euch !!


Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Integralrechnung"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]