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Integration: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:49 Di 19.04.2016
Autor: DerPinguinagent

Aufgabe
Bestimmen Sie die Stammfunktion von [mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{4+x^{4}}} [/mm] mittels Substitution.

Kann mir jemand erklären, wie hier die Partialbruchzerlegung funktioniert?

LG DerPinguinagent

        
Bezug
Integration: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:07 Di 19.04.2016
Autor: Jule2

Hi!

Zerlege [mm] \bruch{1}{4+x^4} [/mm] in [mm] \bruch{1}{(x^2-2x+2)(x^2+2x+2)} [/mm] und jetzt du!!

LG

Bezug
                
Bezug
Integration: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:44 Di 19.04.2016
Autor: DerPinguinagent

[mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{4+x^{4}}}dx=\integral_{}^{}{\bruch{1}{(x^{2}-2x+2)\cdot{}(x^{2}+2x+2)}}dx=\integral_{}^{}{\bruch{Ax+B}{x^{2}+2x+2} \cdot{} \bruch{Cx+D}{x^{2}+2x+2}dx}=\integral_{}^{}{\bruch{(Ax+B)\cdot{}(x^{2}+2x+2)+(Cx+D)\cdot{}(x^{2}-2x+2)}{4+x^{4}}}dx=\integral_{}^{}{\bruch{(A+C)*x^{3}+(2A+B-2C+D)*x^{2}+(2A+2B+2C-2D)x+(2B+2D)}{4+x^4}}dx [/mm]

=> A=-1/8 B=1/4 C=1/8 D=1/4

Richtig?

Bezug
                        
Bezug
Integration: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:52 Di 19.04.2016
Autor: fred97


>
> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{1}{4+x^{4}}}dx=\integral_{}^{}{\bruch{1}{(x^{2}-2x+2)\cdot{}(x^{2}+2x+2)}}dx=\integral_{}^{}{\bruch{Ax+B}{x^{2}+2x+2} \cdot{} \bruch{Cx+D}{x^{2}+2x+2}dx}=\integral_{}^{}{\bruch{(Ax+B)\cdot{}(x^{2}+2x+2)+(Cx+D)\cdot{}(x^{2}-2x+2)}{4+x^{4}}}dx=\integral_{}^{}{\bruch{(A+C)*x^{3}+(2A+B-2C+D)*x^{2}+(2A+2B+2C-2D)x+(2B+2D)}{4+x^4}}dx[/mm]
>  
> => A=-1/8 B=1/4 C=1/8 D=1/4
>  
> Richtig?

Sieht gut aus. Nur beim 3. Integral hast Du Dich verschrieben. Das lautet richtig so:

[mm] \integral_{}^{}{(\bruch{Ax+B}{x^{2}-2x+2} + \bruch{Cx+D}{x^{2}+2x+2})dx} [/mm]

FRED

Bezug
                                
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Integration: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:38 Di 19.04.2016
Autor: DerPinguinagent

Die Werte für A,B,C,D setze ich nun ein => [mm] \integral_{}^{}{\bruch{\bruch{-1}{8}x+\bruch{1}{4}}{x^{2}-2x+2}}+\bruch{\bruch{1}{8}x+\bruch{1}{4}}{x^{2}+2x+2}dx [/mm] = [mm] \bruch{-1}{8} \integral_{}^{}{\bruch{x+\bruch{1}{4}}{x^{2}-2x+2}}dx+\bruch{1}{8}\integral_{}^{}{\bruch{x+\bruch{1}{4}}{x^{2}+2x+2}}dx [/mm]

Wie wende ich nun die Substitution an? Und muss da nicht irgendwie +2 hinkommen anstelle 1/4 oder übersehe ich da was?

Bezug
                                        
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Integration: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:18 Di 19.04.2016
Autor: Jule2

Hi!
Also wenn du hier
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{\bruch{-1}{8}x+\bruch{1}{4}}{x^{2}-2x+2}}+\bruch{\bruch{1}{8}x+\bruch{1}{4}}{x^{2}+2x+2}dx [/mm]

[mm] \bruch{1}{8} [/mm] bzw [mm] \bruch{-1}{8} [/mm] rausziehst steht da natürlich
[mm] \bruch{-1}{8} \integral_{}^{}{\bruch{x-2}{x^{2}-2x+2}}dx+\bruch{1}{8}\integral_{}^{}{\bruch{x+2}{x^{2}+2x+2}}dx [/mm]

So nun kannst du
[mm] \bruch{1}{8}\integral_{}^{}{\bruch{x+2}{x^{2}+2x+2}}dx [/mm]  

umschreiben in

[mm] \bruch{1}{8}\integral_{}^{}({\bruch{2x+2}{2(x^{2}+2x+2)}}+{\bruch{1}{x^{2}+2x+2}})dx =\bruch{1}{16}\integral_{}^{}{\bruch{2x+2}{x^{2}+2x+2}}dx+\bruch{1}{8}\integral_{}^{}{\bruch{1}{x^{2}+2x+2}}dx [/mm]
und nun substituiere [mm] u=x^2+2x+2 [/mm] für das erste Teilintegral und für das 2te
machst du eine quadratische Ergänzung und substituierst dann v=x+1

Den rest machen wir dannach

LG




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Integration: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:23 Di 19.04.2016
Autor: Steffi21

Hallo, kleine Ergänzung, du hast den Summanden 2x vergessen, Substitution:
[mm] u=x^2+2x+2 [/mm] Steffi

Bezug
                                                        
Bezug
Integration: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:20 Di 19.04.2016
Autor: Jule2

Jo stimmt danke fürs ausbessern!!

LG

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