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Integration: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:33 Mi 19.04.2017
Autor: mka

Guten Tag,

ich sitze an einer DGL Aufgabe und verstehe diesen Teil nicht ganz:
$ [mm] C(x)=\integral_{}^{}{4xe^{-x^2} dx}=-2\integral_{}^{}{-2xe^{-x^2} dx}=-2e^{-x^2} [/mm] $

Ich weiß, dass hier Substitution angewendet wird und -2x mit -2x gekürzt wird. Durch etwas googeln habe ich diese "Formel" gefunden:  $dx = [mm] \bruch{dt}{-2x}$ [/mm]
Damit klappt es auch.
Bisher hatte ich aber diese Formel genutzt: dx = P'(t) dt
Ich bin mir aber nicht sicher. ob es dasselbe ist.
Deswegen habe ich es einfach mal nachgerechnet.

$ [mm] C(x)=\integral_{}^{}{4xe^{-x^2} dx}=-2\integral_{}^{}{2t^\bruch{1}{2}e^{t}\*-\bruch{1}{2}t^{-\bruch{1}{2}} dt}= -2e^{-x^2} [/mm] $

[mm] t=-x^2 [/mm]      
[mm] x=-t^\bruch{1}{2}=P(t) [/mm]    
[mm] P'(t)=-\bruch{1}{2}t^{-\bruch{1}{2}} [/mm]

Ist das korrekt?

        
Bezug
Integration: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:33 Mi 19.04.2017
Autor: HJKweseleit

Ja, ist korrekt.

Bezug
        
Bezug
Integration: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:52 Do 20.04.2017
Autor: M.Rex

Hallo,

> Guten Tag,

>

> ich sitze an einer DGL Aufgabe und verstehe diesen Teil
> nicht ganz:
> [mm]C(x)=\integral_{}^{}{4xe^{-x^2} dx}=-2\integral_{}^{}{-2xe^{-x^2} dx}=-2e^{-x^2}[/mm]

>

> Ich weiß, dass hier Substitution angewendet wird und -2x
> mit -2x gekürzt wird.

Das ist doch schonmal gut ;-)

> Durch etwas googeln habe ich diese
> "Formel" gefunden: [mm]dx = \bruch{dt}{-2x}[/mm]
> Damit klappt es
> auch.


So soll es ja sein. Zur Erklärung: Oft wird als "Ableitungsnotation" dann f'(x) verwendet, das ist auch soweit ok. Aber es gibt auch noch die Notation [mm] \frac{df}{dx}, [/mm] machmal auch [mm] \frac{\partial f}{\partial x} [/mm] als Notation.

Gerade wenn evtl sogar mehrere Variablen in einer Funktion vorhanden sind, ist diese durchaus sinnvoll:


Beispiel 1: Du hast die Funktion [mm] f(x)=x^{2}, [/mm] dann ist [mm] \frac{df}{dx}=2x [/mm]

Beispiel 2: Bi der Funktion [mm] f(x,y)=xy^{2} [/mm] ist [mm] \frac{df}{dx}=2xy [/mm] aber [mm] \frac{df}{d\red{y}}=x^{2} [/mm]
Hier ist der Vorteil der "Bruchnotation" zu sehen.

> Bisher hatte ich aber diese Formel genutzt: dx = P'(t) dt
> Ich bin mir aber nicht sicher. ob es dasselbe ist.
> Deswegen habe ich es einfach mal nachgerechnet.

>

> [mm]C(x)=\integral_{}^{}{4xe^{-x^2} dx}=-2\integral_{}^{}{2t^\bruch{1}{2}e^{t}\*-\bruch{1}{2}t^{-\bruch{1}{2}} dt}= -2e^{-x^2}[/mm]

>

> [mm]t=-x^2[/mm]
> [mm]x=-t^\bruch{1}{2}=P(t)[/mm]
> [mm]P'(t)%3D-%5Cbruch%7B1%7D%7B2%7Dt%5E%7B-%5Cbruch%7B1%7D%7B2%7D%7D[/mm]

>

> Ist das korrekt?

Zu deinem Beispiel:
Du hast
[mm] \int4x\cdot e^{-x^{2}}dx [/mm]

Nun substituierst du [mm] t:=-x^{2}, [/mm] dann gilt [mm] \frac{dt}{dx}=-2x, [/mm] das kannst du zu [mm] dx=\frac{dt}{-2x} [/mm] umstellen.

Damit wird aus
[mm] \int4x\cdot e^{-x^{2}}dx [/mm]
dann
[mm] \int4x\cdot e^{t}dx [/mm]
Nun ist aber das dx noch vorhanden, ersetzt du auch dieses durch die obige Formel, bekommst du
[mm] \int4x\cdot e^{t}\cdot\frac{dt}{-2x} [/mm]
Das wird dann zu
[mm] \int-2\cdot e^{t}dt [/mm]
Und dieses Integral kannst du nun lösen, da dieses nur noch von der Variable t abhängig ist, die "ersetzte Variable" x ist "temporär herausgefallen".

Marius

Bezug
                
Bezug
Integration: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:13 Do 20.04.2017
Autor: Steffi21

Hallo M.Rex, kleine Verwechslung

[mm] f(x,y)=x*y^2 [/mm]

[mm] \bruch{d(f)}{d(x)}=y^2 [/mm] und [mm] \bruch{d(f)}{d(y)}=2*x*y [/mm]

Steffi

Bezug
                        
Bezug
Integration: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:24 Do 20.04.2017
Autor: M.Rex

Hallo Steffi,

danke für die Korrektur-Ergänzung.

LG
Marius

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