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Forum "Integration" - Integration
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Integration: Substitution
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:57 Mo 09.09.2013
Autor: Tyson

Aufgabe
Hallo ich habe ein problem bei einer Aufgabe:

Überprüfen sie die Existenz der folgenden uneigentlichen Integrale  und berechnen sie diese gegebenfalls:

[mm] \integral_{0}^{unendlich} \bruch{x}{(x+1)^3}\, [/mm] dx

Hat jemand eine Idee wie ich hier substituieren kann?

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt

wirklich nicht gestellt

        
Bezug
Integration: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:28 Mo 09.09.2013
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

substituiere $y = [mm] (x+1)^2$. [/mm]

MFG,
Gono.

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Bezug
Integration: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:06 Mo 09.09.2013
Autor: Tyson

Ansatz:

[mm] y=(x+1)^2 [/mm]

dy= 2*(x+1)dx

Abe wie setze ich das genau ein?

Bezug
                        
Bezug
Integration: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:15 Mo 09.09.2013
Autor: reverend

Hallo Tyson,

> Ansatz:

>

> [mm]y=(x+1)^2[/mm]

>

> dy= 2*(x+1)dx

>

> Abe wie setze ich das genau ein?

1) [mm] dx=\bruch{1}{2(x+1)}dy [/mm]

2) [mm] x=\wurzel{y}-1 [/mm]

Jetzt Du.

Grüße
reverend

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Bezug
Integration: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:29 Mo 09.09.2013
Autor: Tyson


> Hallo Tyson,
>  
> > Ansatz:
>  >
>  > [mm]y=(x+1)^2[/mm]

>  >
>  > dy= 2*(x+1)dx

>  >
>  > Abe wie setze ich das genau ein?

>  
> 1) [mm]dx=\bruch{1}{2(x+1)}dy[/mm]
>  
> 2) [mm]x=\wurzel{y}-1[/mm]
>  
> Jetzt Du.
>  
> Grüße
>  reverend

Kannst du mir bitte nur erklären kurz wie du auf das x  kommst ?

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Bezug
Integration: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:35 Mo 09.09.2013
Autor: Thomas_Aut


> > Hallo Tyson,
>  >  
> > > Ansatz:
>  >  >
>  >  > [mm]y=(x+1)^2[/mm]

>  >  >
>  >  > dy= 2*(x+1)dx

>  >  >
>  >  > Abe wie setze ich das genau ein?

>  >  
> > 1) [mm]dx=\bruch{1}{2(x+1)}dy[/mm]
>  >  
> > 2) [mm]x=\wurzel{y}-1[/mm]
>  >  
> > Jetzt Du.
>  >  
> > Grüße
>  >  reverend
> Kannst du mir bitte nur erklären kurz wie du auf das x  
> kommst ?

Denke kurz nach.

Man setze: y = [mm] (x+1)^{2} [/mm] , nun:

y = [mm] (x+1)^{2} \gdw \wurzel{y} [/mm] = x+1 [mm] \gdw \wurzel{y}-1 [/mm] = x.

Gruß Thomas


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Integration: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:37 Mo 09.09.2013
Autor: Tyson

Ok als Integral hätte ich dann das stehen:

[mm] \integral_{0}^{unendlich} \bruch{\wurzel{y}-1}{2*(x+1)*y*(x+1)} \, [/mm] dx


Ich bin mir nicht ganz so sicher ob ich die Substitution richtig eingesetzt hab ,weil es steht ja im nenner ein hoch 3.

Für tipps wäre ich dankbar.

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Integration: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:44 Mo 09.09.2013
Autor: Teufel

Hi!

Das (x+1)² im nenner kannst du wieder zu y machen. Hilft dir das?

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Integration: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:48 Mo 09.09.2013
Autor: Tyson


> Ok als Integral hätte ich dann das stehen:
>  
> [mm]\integral_{0}^{unendlich} \bruch{\wurzel{y}-1}{2*(x+1)*y*(x+1)} \,[/mm]
> dx
>
>
> Ich bin mir nicht ganz so sicher ob ich die Substitution
> richtig eingesetzt hab ,weil es steht ja im nenner ein hoch
> 3.
>  
> Für tipps wäre ich dankbar.

[mm] \integral_{0}^{unendlich} \bruch{\wurzel{y}-1}{2*(x+1)*y*(x+1)} [/mm] = [mm] \integral_{0}^{unendlich} \bruch{\wurzel{y}-1}{2*y^2}dy [/mm]

Aber die frage die ich mir jetzt stelle .

Wie integriere ich das ?

Das wirkt knifflig.

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Integration: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:53 Mo 09.09.2013
Autor: Teufel

Sieht nur so aus, zieh mal den Bruch auseinander und integriere beide Summanden einzeln!

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Integration: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:12 Mo 09.09.2013
Autor: Tyson

Ansatz:

[mm] \bruch{1}{2}* \integral_{0}^{unendlich}\bruch{\wurzel{y}}{y^2} [/mm] -  [mm] \bruch{1}{y^2} \, [/mm] dy

Wie soll ich das integrieren?

Der erste bruch ist kompliziert.

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Integration: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:21 Mo 09.09.2013
Autor: Teufel

Denke an Potenzgesetze! Und die Aufteilung des Integrales ist auch nicht ganz korrekt.

Bezug
                                                                                        
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Integration: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:27 Mo 09.09.2013
Autor: Tyson

Kann man nicht das 1/2 vor dem Integral ziehen ?

[mm] \bruch{1}{2}*\integral_{0}^{unendlich} y^{-3/2} -\bruch{1}{y^2} \, [/mm] dy

Oder stimmt das?

Bezug
                                                                                                
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Integration: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:38 Mo 09.09.2013
Autor: Teufel

Ah nein, ist korrekt so!

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Bezug
Integration: Ergebnis
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:46 Mo 09.09.2013
Autor: Tyson

Das Ergebnis der Integration sieht so aus:
[mm] \bruch{1}{2}*[ [/mm] - [mm] \bruch{1}{2*\wurzel{y}}+ \bruch{1}{y}] [/mm]


Wenn ich jetzt die Grenzen einsetze müsste doch als ergebnis 0 raus kommen oder?


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Integration: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:57 Mo 09.09.2013
Autor: Teufel

Warum sollte 0 raus kommen? Dein Graph ist doch immer über der x-Achse, also sollte was positives rauskommen!

Und der erste Summand ist falsch in deiner Stammfunktion.

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Bezug
Integration: einfacher
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:37 Di 10.09.2013
Autor: HJKweseleit

Weil im Nenner nur eine lineare Funktion steht, ist folgende Substitution naheliegend und einfach:

y = x+1     (nicht [mm] y=(x+1)^2) [/mm]

mit

dy = dx

sowie x = y-1.

damit erhältst du sofort leicht

[mm]\integral_{0}^{\infty} \bruch{x}{(x+1)^3}\,[/mm] dx

= [mm]\integral_{1}^{\infty} \bruch{y-1}{y^3}\,[/mm] dy

= [mm]\integral_{1}^{\infty} (\bruch{y}{y^3}-\bruch{1}{y^3}), \,[/mm] dy

= [mm]\integral_{1}^{\infty} (\bruch{1}{y^2}-\bruch{1}{y^3})\,[/mm] dy

= [mm]-\bruch{1}{y}+\bruch{1}{2y^2}[/mm]  von 1 bis [mm] \infty [/mm]

[mm] =\bruch{1}{2} [/mm]

Durch Rücksubstitution erhältst du auch noch die Stammfunktion:

[mm]-\bruch{1}{x+1}+\bruch{1}{2(x+1)^2}[/mm]

= [mm]-\bruch{2x+1}{2(x+1)^2}[/mm]


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