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Integration Funktionenfolge: Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:58 Mo 02.05.2016
Autor: Stala

Aufgabe
Für k [mm] \in \IN_0 [/mm] sei [mm] f_k [/mm] : ] 0, [mm] \infty] \to \IR [/mm] durch [mm] f_k(x)= x^a(-ln x)^k [/mm] definiert, wobei a eine positive reelle Konstante ist. Zeigen Sie mithilfe vollständiger Unduktion, dass [mm] \limes_{x\rightarrow 0} f_k(x) [/mm] = 0 und [mm] \integral_{0}^{1}{f_k(x) dx} [/mm] = [mm] \bruch{k!}{(a+1)^{k+1}} [/mm]

Hallo liebes Forum,

den ersten Teil konnte ich recht mühelos beweisen mittels Induktion, beim Integral komme ich aber nicht weiter:

Induktionsanfang für k=0
[mm] \integral_{0}^{1}{f_0(x) dx} [/mm] = [mm] \integral_{0}^{1}{x^a dx} [/mm] =  [mm] \bruch{x^{a+1}}{(a+1)} \vert_0^1 [/mm] = [mm] \bruch{1}{(a+1)} [/mm]

was den Anfang liefert.

Aber wie weiter:

[mm] \integral_{0}^{1}{f_{k+1}(x) dx}=\integral_{0}^{1}{x^a(-ln x)^{k+1} dx}=\integral_{0}^{1}{f_{k}(x) (-ln x) dx} [/mm]

Ich habe schon probiert so subtituerien mit x = [mm] e^t [/mm] und/oder pratiell zu integrieren. Aber ich komme einfach auf keine Gleichgun in die ich meine Indukstionsannahme [mm] \integral_{0}^{1}{f_k(x) dx} [/mm] = [mm] \bruch{k!}{(a+1)^{k+1}} [/mm] einsetzen kann.

In welche Richtung kann ich noch denken?
Ein kleiner Tipp zum Auf-Die-Sprünge-Helfen wäre gut ;)

VG und vielen Dank

        
Bezug
Integration Funktionenfolge: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:34 Mo 02.05.2016
Autor: chrisno

Du hast es eigentlich schon, nur hat Dir die letzte Umformung den Weg zur Lösung verhüllt.
$ [mm] \integral_{0}^{1}{f_{k+1}(x) dx}=\integral_{0}^{1}{x^a(-ln x)^{k+1} dx}$ [/mm]
Partiell integrieren, mit $u'(x) = [mm] x^{a}$ [/mm] und $v(x) = (-ln [mm] x)^{k+1}$ [/mm]
Dann brauchst Du den Grenzwert um den Term [mm] $[fg]_0^1$ [/mm] verschwinden zu lassen und es bleibt, wie gewünscht, [mm] $\br{k+1}{a+1} \integral_{0}^{1}{f_k(x) dx} [/mm] $ übrig.



Bezug
                
Bezug
Integration Funktionenfolge: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:23 Di 03.05.2016
Autor: Stala

Wald... Bäume... so einfach ;)

DANKE

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