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Forum "Integralrechnung" - Integration durch substitution
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Integration durch substitution: Erklärung
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:28 So 20.02.2005
Autor: Ilcoron

hi
ich muss mir die Integration durch substitution selbst beibringen, abe was in meinem mathebuch steht kommt mir etwas spanisch vor.
1. verstehe ich nciht genau wie es funktioniert
2. weiß ich nicht wozu es gut ist
3. weiß ich nciht was zu diesem thema dazu gehört

ich hoffe mir kann jemand helfen.
ich bedanke mcih schon mal im voraus für jede hilfe



        
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Integration durch substitution: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:54 So 20.02.2005
Autor: oliver.schmidt

ok machen wir mal ein Beispiel:

[mm] \integral_{a}^{b} {\bruch{1}{x} dx} [/mm] = ln x ist dir sicher bekannt

was aber bei folgendem Integral:

[mm] \integral_{a}^{b} {\bruch{1}{2x+3} dx} [/mm] = ??

sieht sehr ähnlich ist, ist aber nicht einfach ln(2x+3)

weil ln(2x+3)'= [mm] \bruch{2}{2x+3} [/mm] ergibt (Kettenregel !!)

der Trick besteht in der Einführung einer neuen Variablen:

z=2x+3

dann ist
[mm] \integral_{a}^{b} {\bruch{1}{2x+3} dx}= \integral_{a}^{b} {\bruch{1}{z} dx} [/mm]

jetzt müssen wir noch das Differential dx ersetzen durch dz
und das geht durch ableiten:

[mm] \bruch{dz}{dx}=z'= [/mm] 2
-> [mm] dx=\bruch{dz}{2} [/mm]

-> [mm] \integral_{a}^{b} {\bruch{1}{z} dx}= \integral_{a}^{b} {\bruch{1}{z} \bruch{dz}{2}} [/mm]

das ergibt als Lösung 0.5*ln (z)

zum schluss musst du z wieder durch 2x+3 ersetzen und fertig bist du !

Substitution dient also dazu, das Integral auf ein bekanntes Grundintegral zurück zu führen.

Ich hoffe, dir hilft das für den Anfang, nicht verwirren lassen, in Mathebüchern steht statt z häufig f( [mm] (\phi), [/mm] das sieht halt geheimnisvoller aus ;-)

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Integration durch substitution: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:58 So 20.02.2005
Autor: Ilcoron

danke erst mal das hat mich schon sehr weit gebracht

die stelle ist mir noch unklar:

> [mm]\bruch{dz}{dx}=z´=[/mm] 2
>  -> [mm]dx=\bruch{dz}{2} [/mm]

[mm] $\bruch{dz}{dx}= [/mm] z'$ diese formulierung hatten wir im unterricht nie
kann man das auch anders ausdrücken? oder wie erklärt sich das?

>  
> -> [mm]\integral_{a}^{b} {\bruch{1}{z} dx}= \integral_{a}^{b} {\bruch{1}{z} \bruch{dz}{2}} [/mm]
> das ergibt als Lösung 0.5*ln (z)

[mm]\integral_{a}^{b} {\bruch{1}{z} dx}= \integral_{a}^{b} {\bruch{1}{z} \bruch{1}{2}dz} [/mm]
darum kommt 0,5*ln(z) raus stimmts

aber ist das denn nun algemein gültig, da nicht alle funktionen 1/z genügen oder?



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Integration durch substitution: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:21 So 20.02.2005
Autor: oliver.schmidt


> danke erst mal das hat mich schon sehr weit gebracht
>
>
> die stelle ist mir noch unklar:
>  > [mm]\bruch{dz}{dx}=z´=[/mm] 2

>  >  -> [mm]dx=\bruch{dz}{2} [/mm]

>  [mm]\bruch{dz}{dx}= z'[/mm] diese formulierung hatten wir im
> unterricht nie
> kann man das auch anders ausdrücken? oder wie erklärt sich
> das?

[mm][mm] \bruch{dz}{dx} [/mm]  das ist ja grade der trick, du musst ja das Differential dx auch ersetzen wenn du eine neue Variable z einführst
mit z= 2x+3
-> z'=2

[mm] \bruch{dz}{dx} [/mm] ist eine andere Schreibweise für z'

mit einfacher bruchrechrechnung lässt sich das nun nach dx auflösen

>  >  
> > -> [mm]\integral_{a}^{b} {\bruch{1}{z} dx}= \integral_{a}^{b} {\bruch{1}{z} \bruch{dz}{2}} [/mm]
>  
> > das ergibt als Lösung 0.5*ln (z)
>  
> [mm]\integral_{a}^{b} {\bruch{1}{z} dx}= \integral_{a}^{b} {\bruch{1}{z} \bruch{1}{2}dz} [/mm]
>  
> darum kommt 0,5*ln(z) raus stimmts

genau ! ;-)

>  
> aber ist das denn nun algemein gültig, da nicht alle
> funktionen 1/z genügen oder?
>  
>

ja das ist allgemeingültig, nur nicht immer ist das grundintegral 1/x

versuch doch mal folgendes:

[mm] \integral_{a}^{b} {(3x+4)^4 dx} [/mm]

mit folgender Substitution: z=3x+4

die Integrationsgrenzen vergiss erst mal, ich hab noch nicht rausgekriegt, wie man mit dem Formeleditor ein Integral ohne Grenzen eingeben kann...

>  

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Integration durch substitution: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:50 Fr 25.02.2005
Autor: Ilcoron

ich habe heraus bekommen:

$F(X)= [mm] \integral_{ }^{ } [/mm] { [mm] (3x+4)^{4} [/mm] dx}= [mm] \bruch{(3x+4)^{5}}{15}$ [/mm]

(mir leerzeichen kannst du die intervallgrenzen leer lassen ;))
ich hoffe das stimmt.

aber ich hab noch ne andere frage:
was hat es mit folgender formel auf sich?
u anstatt z

$ [mm] \integral_{u(a)}^{u(b)} [/mm] {f(u) [mm] du}=[F(u)]_{u(a)}^{u(b)}$ [/mm]
[mm] $=[F(u(x))]_{a}^{b}= \integral_{a}^{b} [/mm] {f(u)*u'(x) dx}$

was die symbolik angeht verstehe ich alles ;)
aber die einzelnen schritte sind mir unklar
aber vom sinn her stimmt das doch mit dem überein was du gesagt hast oder?

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Integration durch substitution: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:33 Fr 25.02.2005
Autor: Zwerglein

Hi, ilcoron,

gut, dass Du diese Frage jetzt endlich stellst!
Was mir bei den Beispielen von Oliver nämlich schon den ganzen Strang hindurch (verzeih' Oliver!) "missfällt", ist, dass links immer "bestimmte Integrale" (Grenzen a und b) stehen, als Ergebnis aber "unbestimmte Integrale" (Stammfunktionen, noch dazu ohne "+c") herauskommen: Wo bleiben die Grenzen a und b?

Antwort: Ganz einfach: Die werden auch substituiert; und das genau besagt Deine Formel! Ich nehm' mal Dein Beispiel, aber als bestimmtes Integral (Grenzen werden von mir vorgegeben!):
[mm] \integral_{-1}^{0}(3x+4)^{4}dx [/mm] = (***)
Substitution: z=3x+4; [mm] \bruch{dz}{dx}=3, [/mm] also: [mm] dx=\bruch{dz}{3} [/mm]
Und nun die Grenzen: Untergrenze x=-1 wird (wegen z=3x+4) zu z =-3+4=1
Obergrenze x=0 wird zu z=0+4=4
Und somit:
(***) = [mm] \integral_{1}^{4}z^{4}*\bruch{1}{3}dz [/mm] = [mm] [\bruch{1}{15}z^{5}]_1^4 [/mm] = [mm] \bruch{1024}{15}-\bruch{1}{15} [/mm] = [mm] \bruch{1023}{15} [/mm] = 68,2
(Rechenfehler nicht ausgeschlossen!)

Wie Du siehst, bedeutet die von Dir gefundene Formel nichts anderes, als dass Du bei bestimmten (!) Integralen (nicht bei unbestimmten!!) auf die Rücksubstitution verzichten kannst (nicht musst!).

mfG!
Zwerglein


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Integration durch substitution: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:14 Fr 25.02.2005
Autor: oliver.schmidt


> Hi, ilcoron,
>  
> gut, dass Du diese Frage jetzt endlich stellst!
>  Was mir bei den Beispielen von Oliver nämlich schon den
> ganzen Strang hindurch (verzeih' Oliver!) "missfällt", ist,
> dass links immer "bestimmte Integrale" (Grenzen a und b)
> stehen, als Ergebnis aber "unbestimmte Integrale"
> (Stammfunktionen, noch dazu ohne "+c") herauskommen: Wo
> bleiben die Grenzen a und b?

wie recht du doch hast !
ich habs einfach nicht hingekriegt mit dem Formeleditor ein unbestimmtes Integral einzugeben, habs inzwischen rausgekriegt....

Ansonsten hab ich deiner Antwort nix hinzuzufügen, alles Bestens erklärt .

>  

Gruß
OLIVER

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Bezug
Integration durch substitution: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:16 Fr 25.02.2005
Autor: Ilcoron

danke das hat mich viele weiter gebracht

aber einige fragen habe ich trotzdem noch:

1. was bedeutet rücksubstitution?
2. ist bei der ganzen sache irgendwas zu beweisen oder so was in der richtung. ich muss das nämlich meiner klasse präsentieren.
3. gibt es noch einen anderen weg um von dz auf dx zu kommen?
4. dies ist mir auch ncoh unklar:

$ [mm] \integral_{z(a)}^{z(b)} [/mm] {f(z) [mm] dz}=\integral_{a}^{b} [/mm] {f(z)*z'(x) dx}$

denn so wie wir das gerechnet haben ist:
[mm] \integral_{-1}^{0}(3x+4)^{4}dx [/mm]
[mm] =\integral_{1}^{4}z^{4}*\bruch{1}{3}dz [/mm]

was mich daran jetzt stört ist, dass z'(x) [mm] \not=\bruch{1}{3} [/mm] ist
wo ist da denn jetzt mein fehler?
oh mann ganz schön viele fragen =)


Bezug
                                                        
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Integration durch substitution: Rücksubstitution
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:32 Fr 25.02.2005
Autor: oliver.schmidt


> danke das hat mich viele weiter gebracht
>  
> aber einige fragen habe ich trotzdem noch:
>  
> 1. was bedeutet rücksubstitution?
>  2. ist bei der ganzen sache irgendwas zu beweisen oder so
> was in der richtung. ich muss das nämlich meiner klasse
> präsentieren.
> 3. gibt es noch einen anderen weg um von dz auf dx zu
> kommen?
>  4. dies ist mir auch ncoh unklar:
>  
> [mm]\integral_{z(a)}^{z(b)} {f(z) dz}=\integral_{a}^{b} {f(z)*z'(x) dx}[/mm]
>  
>
> denn so wie wir das gerechnet haben ist:
>  [mm]\integral_{-1}^{0}(3x+4)^{4}dx [/mm]
>  [mm]=\integral_{1}^{4}z^{4}*\bruch{1}{3}dz [/mm]

[ok]  

> was mich daran jetzt stört ist, dass z'(x)
> [mm]\not=\bruch{1}{3}[/mm] ist

warum willst du, dass [mm] z'(x)=\bruch{1}{3} [/mm] ist?
Diese Frage verstehe ich nicht ganz

es ist doch
z=3x+4
also [mm] z'=\bruch{dz}{dx}=3 [/mm]

[mm] \Rightarrow dx=\bruch{dz}{3} [/mm]

das eingesetz ergibt sich genau das Integral, was du angegeben hast, sogar die Grenzen hast du richtig substituiert ...

zu deiner  Frage zur Rücksubstitution:
                                                                                                          
[mm] \integral_{1}^{4}z^{4}*\bruch{1}{3}dz [/mm] = [mm] \bruch{1}{15}*z^5 |_1^4 [/mm] = 68.2  (Zwischenschritt erspar ich mir, ich denke , du weisst wie man das ausrechnet)

Rücksubstitution bedeutet, wieder die ursprüngliche Variable einzuführen

also:
[mm] \integral_{1}^{4}z^{4}*\bruch{1}{3}dz= \bruch{1}{15}*z^5 |_1^4 [/mm]
= [mm] \bruch{1}{15}*(3x+4)^5 |_{-1}^0 [/mm] =68.2

wie mein Vorredner erwähnte, muss du in diesem Fall aber auch wieder die Grenzen "rücksubstituieren", also wieder die ursprünglichen "x"-Werte als Grenzen einsetzen.

es gibt also grundsätzlich zwei Möglichkeiten:

1. man substituiert die Grenzen mit, dann braucht man keine Rücksubstitution

2. man substituiert die Grenzen nicht mit, dann muss man vor dem einsetzen aber wieder die ursprüngliche Variable einführen (=Rücksubstitution)

Ich hoffe, ich konnte mich verständlich genug ausdrücken.

>  wo ist da denn jetzt mein fehler?
>  oh mann ganz schön viele fragen =)
>  
> wer viel fragt, kriegt auch viele Antworten ;-)

Gruß
OLIVER

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Integration durch substitution: Antwort: Rücksubstitution
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:09 Fr 25.02.2005
Autor: Zwerglein

Hi, Ilcoron,


>  
> aber einige fragen habe ich trotzdem noch:
>  
> 1. was bedeutet rücksubstitution?

>
Also: Wenn Du ein unbestimmtes Integral ausrechnest (Stammfunktion),
so sollte doch das Ergebnis dieselbe Variable aufweisen wie die zu integrierende Funktion! Wenn Du nun aber substituierst (z.B. z= 3x+4), hat Dein Ergebnis doch zunächst dieses z als Variable!
"Rücksubstitution" heißt nichts anderes als: Ersetze im Ergebnis wieder z durch das ursprüngliche 3x+4.
Ausführlich: [mm] \integral{(3x+4)^{4}dx} [/mm] =  [mm] \integral{z^{4}\bruch{1}{3}dz} [/mm] = [mm] \bruch{1}{15}z^{5}+c [/mm] = (und jetzt die "Rücksubstitution"!) =  [mm] \bruch{1}{15}(3x+4)^{5}+c [/mm]

Alles klar?

mfG!
Zwerglein



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Integration durch substitution: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:57 Fr 25.02.2005
Autor: Ilcoron

soweit möchte ich mich erst mal bedanken.

aber das verstehe ich immer noch nciht und das hat mir mein mathe lehrer als hilfe gegeben. ich glaub ich steh aus dem schlauch. :/
[mm]\integral_{z(a)}^{z(b)} {f(z) dz}=\integral_{a}^{b} {f(z)*z'(x) dx}[/mm]

also wie man darauf kommt kann ich mir zur hälfte denken aber mir sagt es irgendwie nichts :/

Bezug
                                                                        
Bezug
Integration durch substitution: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:20 Fr 25.02.2005
Autor: oliver.schmidt


> soweit möchte ich mich erst mal bedanken.
>  
> aber das verstehe ich immer noch nciht und das hat mir mein
> mathe lehrer als hilfe gegeben. ich glaub ich steh aus dem
> schlauch. :/
>  [mm]\integral_{z(a)}^{z(b)} {f(z) dz}=\integral_{a}^{b} {f(z)*z'(x) dx}[/mm]
>  
>
> also wie man darauf kommt kann ich mir zur hälfte denken
> aber mir sagt es irgendwie nichts :/


ok, ich vermute dich verwirrt nur die Schreibweise:

es war in unserm Beispiel:

Substitution: z=3x+4

[mm] z'(x)=\bruch{dz}{dx}=3 [/mm]

[mm] \Rightarrow [/mm] dz=3dx

also:

[mm] \integral{}{}f(z)dz=\integral{}{}f(z)* \underbrace{3}_{=z'(x)} [/mm] dx

und jetzt noch zu den Grenzen:

z(a) und z(b) sind die substituierten Grenzen

z.B. ist für a=1 ist z(a)=3*1+4  

während mit a und b die ursprünglichen x-Werte gemeint sind!
die Variable, über die integriert werden soll, steht nämlich grundsätzlich im differential, auf der linken Seite ist wegen dz die Variable z, auf der rechten wegen dx die Variable x.

nun etwas klarer?

Gruß
OLIVER

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Integration durch substitution: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 08:35 Sa 26.02.2005
Autor: Ilcoron

ja soweit verstanden aber warum kommt da jetzt 3 raus und vorher  [mm] \bruch{1}{3}? [/mm]
;/
ich steh auf dem schlauch

Bezug
                                                                                        
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Integration durch substitution: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:38 Sa 26.02.2005
Autor: Loddar

Hallo Ilcoron!


Du mußt hier unterscheiden, nach welchem Term Ihr gerade umgeformt habt!

Ihr hattest doch substituiert: $z \ := \ 3x+4$

Daraus folgt ja: $z' \ = \ [mm] \bruch{d\blue{z}}{d\red{x}} [/mm] \ = \ [mm] \green{3}$ [/mm]
Bis hierher klar?


Und nun habt Ihr einmal umgestellt nach [mm] $d\red{x}$: [/mm]
[mm] $d\red{x} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{d\blue{z}}{\green{3}} [/mm] \ = \ [mm] \green{\bruch{1}{3}} [/mm] * [mm] d\blue{z}$ [/mm]


In einer späteren Antwort wurde aber nach [mm] $d\blue{z}$ [/mm] umgestellt:
[mm] $d\blue{z} [/mm] \ = \ [mm] \green{3} [/mm] * [mm] d\red{x}$ [/mm]


Nun etwas klarer?

Gruß
Loddar


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Integration durch substitution: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:57 Sa 26.02.2005
Autor: Ilcoron

OHHHHHHHH ja natürlich ich sage ja ich steh auf dem schlauch.
gut jetzt habe ich wenigstens die vorgehensweise verstanden.

so jetzt kommen fragen die ich zur präsentation brauche.

$f(x)=g(v(x))*v'(x)$ dann gilt wenn G die stammfunktion von g ist, ist F mit $F(x)=G(v(x))$ stammfunktion von f.
soweit so gut. aber wie kommt man auf folgende gleichung?
[mm] $\integral_{a}^{b} [/mm] {g(v(x))*v'(x) dx}= [mm] \integral_{v(a)}^{v(b)} [/mm] {g(v) dv}$

also, ich weiß dass $v'(x)*dx=dv$ ist. aber das mit den grenzen verstehe ich nciht.


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Integration durch substitution: Hinweis
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:39 Sa 26.02.2005
Autor: MathePower

Hallo,

die Substitution ist folgende:

[mm]\begin{gathered} v\; = \;v\left( x \right) \hfill \\ dv\; = \;v^{'} \left( x \right)\;dx \hfill \\ \end{gathered} [/mm]

Nun ändern sich auch die Integrationsgrenzen:

Die neuen Integrationsgrenzen erhält man wie folgt:

[mm] \begin{gathered} v_{o} = \;v\left( {x_{o} } \right)\; = \;v\left( b \right) \hfill \\ v_{u} = \;v\left( {x_{u} } \right)\; = \;v\left( a \right) \hfill \\ \end{gathered} [/mm]

Gruß
MathePower





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Bezug
Integration durch substitution: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:08 Sa 26.02.2005
Autor: Ilcoron

naja muss ich wohl so hinnehmen das das halt so ist.
[mm] \integral_{ }^{ }(3x+4)^{4}dx=\bruch{1}{15}z^{5} [/mm]

stimmt das jetzt genau so?
ist das jetzt die richtige stammfunktion?

und wie geht es wenn die gleichung anders ist?
z.b.
$ [mm] \integral_{1}^{2} \bruch{2-ln(2x)}{x} [/mm] dx$

Bezug
                                                                                                                        
Bezug
Integration durch substitution: Hinweis
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:23 Sa 26.02.2005
Autor: MathePower

Hallo,

die Lösung zu dem ersten Teil ist richtig. Hier mußt Du dann noch für

[mm]z\; = \;3x\; + \;4[/mm]

setzen.

Zum zweiten Teil:

Verwende hier die Substitution

[mm] \begin{gathered} z\; = \;\ln (2x) \hfill \\ dz\; = \;\frac{1} {x}\;dx \hfill \\ \end{gathered} [/mm]

Gruß
MathePower



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Bezug
Integration durch substitution: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:34 So 27.02.2005
Autor: Ilcoron

$ [mm] \integral_{1}^{2} \bruch{2-ln(2x)}{x} [/mm] dx$
=$ [mm] \integral_{ln(2)}^{2*ln(2)} \bruch{2-z}{x} [/mm] dx$
=$ [mm] \integral_{ln(2)}^{2*ln(2)} [/mm] 2-z dx$
= [mm] \bruch{-ln(2)*(3*ln(2)-4}{2} [/mm]

so aber wenn ich die stammfunktion ausrechne dann kommtfolgendes heraus:
$2*ln(2*x)- [mm] \bruch{(ln(2x)^{2}}{2}$ [/mm]

aber $[2*ln(2*x)- [mm] \bruch{(ln(2x)^{2}}{2}]^{2}_{1}$ [/mm]
[mm] \not= \bruch{-ln(2)*(3*ln(2)-4}{2} [/mm]

????????????
verdammt


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Bezug
Integration durch substitution: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:09 So 27.02.2005
Autor: oliver.schmidt


> [mm]\integral_{1}^{2} \bruch{2-ln(2x)}{x} dx[/mm]
>  =[mm] \integral_{ln(2)}^{2*ln(2)} \bruch{2-z}{x} dx[/mm]

  

> =[mm] \integral_{ln(2)}^{2*ln(2)} 2-z dx[/mm]

nein, es muss heissen [mm] \integral_{ln(2)}^{2*ln(2)} [/mm] (2-z) dz
  =  [mm] 2z-0.5*z^2 |_{ln(2)}^{2*ln(2)} [/mm]

und jetzt erst die Grenzen einsetzen !

>  
> so aber wenn ich die stammfunktion ausrechne dann
> kommtfolgendes heraus:
>  [mm]2*ln(2*x)- \bruch{(ln(2x)^{2}}{2}[/mm]

da fehlt eine Klammer:   [mm]2*ln(2*x)- \bruch{(ln(2x))^{2}}{2}[/mm]

> aber [mm][2*ln(2*x)- \bruch{(ln(2x)^{2}}{2}]^{2}_{1}[/mm]
>   [mm]\not= \bruch{-ln(2)*(3*ln(2)-4}{2} [/mm]


>
> ????????????
>  verdammt
>  

prüf das mal nach, ich melde mich heut Abend noch mal

Gruß
Oliver

Bezug
                                                                                                                                                
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Integration durch substitution: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:49 So 27.02.2005
Autor: Ilcoron


> nein, es muss heissen [mm]\integral_{ln(2)}^{2*ln(2)}[/mm] (2-z)
> dz
>    =  [mm]2z-0.5*z^2 |_{ln(2)}^{2*ln(2)} [/mm]
>  
> und jetzt erst die Grenzen einsetzen !
>  
> >  

> > so aber wenn ich die stammfunktion ausrechne dann
> > kommtfolgendes heraus:
>  >  [mm]2*ln(2*x)- \bruch{(ln(2x)^{2}}{2}[/mm]
>  
> da fehlt eine Klammer:   [mm]2*ln(2*x)- \bruch{(ln(2x))^{2}}{2}[/mm]

ja da hast du recht aber ich hab das auch alles so gemeint wie du mich verbessert hast

aber [mm][2*ln(2*x)- \bruch{(ln(2x)^{2}}{2}]^{2}_{1}[/mm]
  
[mm]\not= \bruch{-ln(2)*(3*ln(2)-4}{2}[/mm] das ist nähmlich das was mein taschenrechner aus gibt. und das simmt.
aber warum bekomme ich mit der stammfunktion ein anderes ergebnis heraus?
$F(x)=2*ln(2*x)- [mm] \bruch{(ln(2x)^{2}}{2}$ [/mm]
$[2*ln(2*x)- [mm] \bruch{(ln(2x)^{2}}{2}]^{2}_{1}$ [/mm]
$=2*ln(2)- [mm] \bruch{5*(ln(2))^{2}}{2}$ [/mm]
ich muss irgendwo nen fehler gemacht haben



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Integration durch substitution: Schritt für Schritt
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:17 So 27.02.2005
Autor: Loddar

Hallo Ilcoron!

> aber warum bekomme ich mit der stammfunktion ein anderes
> ergebnis heraus?
> [mm]F(x)=2*\ln(2*x)- \bruch{[\ln(2x)]^{2}}{2}[/mm]

[daumenhoch]


Na, dann werden wir das mal schrittweise durchgehen:

[mm] $\left[2*\ln(2*x)- \bruch{[\ln(2x)]^2}{2}\right]^{2}_{1}$ [/mm]

$= \ F(2) - F(1)$

$= \ [mm] 2*\ln(2*2) [/mm] - [mm] \bruch{[\ln(2*2)]^2}{2} [/mm] - [mm] \left( 2*\ln(2*1) - \bruch{[\ln(2*1)]^2}{2}\right)$ [/mm]

$= \ [mm] 4*\ln(2) [/mm] - [mm] 2*[\ln(2)]^2 [/mm] -  [mm] 2*\ln(2) [/mm] + [mm] \bruch{1}{2}*[\ln(2)]^2$ [/mm]

$= \ [mm] 4*\ln(2) [/mm] - [mm] 2*\ln^2(2) [/mm] -  [mm] 2*\ln(2) [/mm] + [mm] \bruch{1}{2}*\ln^2(2)$ [/mm]

$= \ [mm] 2*\ln(2) [/mm] - [mm] \bruch{3}{2}*\ln^2(2)$ [/mm]

$= \ [mm] \bruch{4*\ln(2) - 3*\ln^2(2)}{2}$ [/mm]

$= \ [mm] \bruch{-\ln(2) * [3*\ln(2) - 4]}{2}$ [/mm]

Voilà !!


Gruß
Loddar


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Integration durch substitution: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:47 So 27.02.2005
Autor: Ilcoron

danke jetzt hab ichs glaub ich
aber eine neue aufgabe bereitet mir kopfzerbrechen:
$ [mm] \integral_{0}^{3} [/mm] { [mm] \bruch{x^3}{ \wurzel[ ]{9-x^2}}dx}$ [/mm]

was ist denn hier z?
[mm] \wurzel[ ]{9-x^2}? [/mm]

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Integration durch substitution: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:05 So 27.02.2005
Autor: andreas

hi

hier bietet sich die substitution $z = 9 - [mm] x^2$ [/mm] an. dann erhält man [mm] $x^2 [/mm] = 9 - z$ und [mm] $\textrm{d}x [/mm] = [mm] \frac{1}{-2x} \, \textrm{d}z$. [/mm]

probier mal dein glück damit - wenn du nicht weiterkommst kannst du dich ja nochmal melden!

grüße
andreas


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Integration durch substitution: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:45 So 27.02.2005
Autor: Ilcoron

ich weiß ja nicht, aber ich müsste bei der aufgabe von 9 bis 0 integrieren darf man das überhaupt?

aber ich bin mit meinem referat soweit fertig und wollte euch bitten es vielleicht mal korrektur zu lesen.
das würde mcih freuen =)
ich versuche das handout anzuhängen wenn ncihts da ist hats wohl nciht geklappt :)[a]Handout
ihr könnt mir auch gerne tips geben was der lehrer fragen wird oder was ich noch verbessern könnte.
und ob das den ansprüchen an die 12 klasse genügt und ob das thema vollständig behandelt ist.
ich danke schon mal im voraus

Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: doc) [nicht öffentlich]
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Integration durch substitution: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:03 So 27.02.2005
Autor: oliver.schmidt


> ich weiß ja nicht, aber ich müsste bei der aufgabe von 9
> bis 0 integrieren darf man das überhaupt?

ja darfst du, es gilt immer:

[mm] \integral_{a}^{b} [/mm] f(x) dx= [mm] -\integral_{b}^{a} [/mm] f(x) dx

> aber ich bin mit meinem referat soweit fertig und wollte
> euch bitten es vielleicht mal korrektur zu lesen.
>  das würde mcih freuen =)
>  ich versuche das handout anzuhängen wenn ncihts da ist
> hats wohl nciht geklappt :)
>  ihr
> könnt mir auch gerne tips geben was der lehrer fragen wird
> oder was ich noch verbessern könnte.
>  und ob das den ansprüchen an die 12 klasse genügt und ob
> das thema vollständig behandelt ist.
> ich danke schon mal im voraus

>
schaun mer mal ;-)

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Integration durch substitution: sieht gut aus
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:43 So 27.02.2005
Autor: oliver.schmidt

also vom reinm mathematischen Standpunkt kann ich in deinem "Handout" keinen Fehler finden, ich denke das Prinzip der Substitution hast du ganz gut verstanden, Gratulation !

auf die Frage wie die richtige Substitution für eine Aufgabe nun zu finden ist, gibt es übrigens keine konkrete Antwort. Allgemein solltest du so einfach wie möglich substituieren, Wurzelausdrücke sind da selten der richtige Ansatz.

Ich wünsche dir viel Erfolg und Spass beim Vortrag deines Referates !

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Integration durch substitution: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:46 So 27.02.2005
Autor: Ilcoron

danke schön ich hoffe es geht gut


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Integration durch substitution: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:03 So 27.02.2005
Autor: oliver.schmidt

aber sicher doch, kannst ja mal Bescheid sagen, wie es gelaufen ist.

Gruß
Oliver

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