Integration über Kreisfläche < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Berechnen sie [mm]\integral_{}^{}{\integral_{}^{}{x^2y^2 dxdy}}[/mm] über der Menge [mm] M = \{x,y \in \IR^2 | x^2 + y^2 \le R^2, y \ge 0, x \ge 0 \}[/mm] mit [mm] R > 0[/mm] durch Rückführung auf eindimensionale Integrale ohne Verwendung von Polarkoordinaten. |
Hallo,
ich bleib bei obiger Integration stecken. Ich habe mir zuerst die Grenzen festgelegt, die sind (da ich ja nur über den positiven Viertelkreis um (0,0) integriere) [mm] 0 \le x \le R , 0 \le y \le \wurzel{R^2 - x^2}[/mm]. Soweit, sogut. Die erste Integration (nach y) ergibt jetzt folgendes verbleibendes Integral:
[mm]1/3 * \integral_{0}^{R}{x^2 * \wurzel{(R^2 - x^2)^3} dx}[/mm].
Wie integriere ich das? Normalerweise würde ich ja eine Substitution mit was trigonometrischem versuchen, aber das scheint hier ja nicht ohne weiteres zu gehen.
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Hallo micha_goes_ti,
> Berechnen sie [mm]\integral_{}^{}{\integral_{}^{}{x^2y^2 dxdy}}[/mm]
> über der Menge [mm]M = \{x,y \in \IR^2 | x^2 + y^2 \le R^2, y \ge 0, x \ge 0 \}[/mm]
> mit [mm]R > 0[/mm] durch Rückführung auf eindimensionale Integrale
> ohne Verwendung von Polarkoordinaten.
> Hallo,
> ich bleib bei obiger Integration stecken. Ich habe mir
> zuerst die Grenzen festgelegt, die sind (da ich ja nur
> über den positiven Viertelkreis um (0,0) integriere) [mm]0 \le x \le R , 0 \le y \le \wurzel{R^2 - x^2}[/mm].
> Soweit, sogut. Die erste Integration (nach y) ergibt jetzt
> folgendes verbleibendes Integral:
> [mm]1/3 * \integral_{0}^{R}{x^2 * \wurzel{(R^2 - x^2)^3} dx}[/mm].
>
>
> Wie integriere ich das? Normalerweise würde ich ja eine
> Substitution mit was trigonometrischem versuchen, aber das
> scheint hier ja nicht ohne weiteres zu gehen.
Nun, laut Aufgabe ist die Integrationsreihenfolge zuerst nach "x",
dann nach "y". Damit mußt Du auch die Grenzen anders wählen.
Gruss
MathePower
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Das mag eigentlich stimmen, ist aber (nach Rücksprache mit dem betreuenden Tutor) so gemeint, wie ich es da gemacht habe. Würde doch aber hier, da das Problem absolut symmetrisch ist, mein Integral auch nicht einfacher machen.
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Hallo,
ändere mal die Reihenfolge, in der du integrierst, integriere die Funktion [mm] $x^2y^2$ [/mm] zuerst über x in den Grenzen 0 bis R, dann über y in den Grenzen 0 bis [mm] \sqrt{R^2-x^2}$
[/mm]
Dann wird das Integrieren leichter
LG
schachuzipus
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Ich weiß nicht, ob ich dich richtig verstanden habe, aber wenn ich als zweites nach y integriere und dann als Grenze eine Wurzel einsetze, in der x vorkommt, steht in meinem Ergebnisterm immer noch ein x. Das kann nicht Sinn der Sache sein. Wenn ich als erstes nach x integriere und dann nach y, müsste ich ja die Grenzen entsprechend ändern, sodass y von 0 bis R läuft und x in Abhängigkeit von y beschreiben. Das wäre dann eben [mm]\wurzel{R^2 - y^2}[/mm] für die obere Grenze und 0 für die untere, was beim äußeren Integral zu genau demselben Problem führt.
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Hallo nochmal,
> Ich weiß nicht, ob ich dich richtig verstanden habe, aber
> wenn ich als zweites nach y integriere und dann als Grenze
> eine Wurzel einsetze, in der x vorkommt, steht in meinem
> Ergebnisterm immer noch ein x. Das kann nicht Sinn der
> Sache sein.
Da hast du recht, da habe ich zu schnell und vor allem total falsch gerechnet, tut mir leid ...
Gruß
schachuzipus
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Hallo micha_goes_ti,
> Ich weiß nicht, ob ich dich richtig verstanden habe, aber
> wenn ich als zweites nach y integriere und dann als Grenze
> eine Wurzel einsetze, in der x vorkommt, steht in meinem
> Ergebnisterm immer noch ein x. Das kann nicht Sinn der
> Sache sein. Wenn ich als erstes nach x integriere und dann
> nach y, müsste ich ja die Grenzen entsprechend ändern,
> sodass y von 0 bis R läuft und x in Abhängigkeit von y
> beschreiben. Das wäre dann eben [mm]\wurzel{R^2 - y^2}[/mm] für
> die obere Grenze und 0 für die untere, was beim äußeren
> Integral zu genau demselben Problem führt.
Nun, da wird wohl nichts anders helfen als partielle Integration.
Gruß
MathePower
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Das habe ich bereits versucht, aber ich weiß nicht genau, wie mir das zu einem Ergebnis verhelfen soll. Wähle ich die Wurzel als den Term, der später abgeleitet wird, wird das Ergebnis nicht einfacher, und wähle ich [mm] x^2 [/mm] als den Term, der später abgeleitet wird, so muss ich die Wurzel integrieren und das scheint mir ja nicht so einfach zu sein (nicht machbar, auf deutsch). Oder ich weiß zumindest nicht wie. Könntet ihr mir da helfen?
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Hallo micha_goes_ti,
> Das habe ich bereits versucht, aber ich weiß nicht genau,
> wie mir das zu einem Ergebnis verhelfen soll. Wähle ich
> die Wurzel als den Term, der später abgeleitet wird, wird
> das Ergebnis nicht einfacher, und wähle ich [mm]x^2[/mm] als den
> Term, der später abgeleitet wird, so muss ich die Wurzel
> integrieren und das scheint mir ja nicht so einfach zu sein
> (nicht machbar, auf deutsch). Oder ich weiß zumindest
> nicht wie. Könntet ihr mir da helfen?
Mit partieller Integration komme ich auch auf keinen grünen Zweig.
Es sei denn, Du darfst gewisse Integrale als bekannt voraussetzen.
Ansonsten wird wohl kein Weg an einer trigonometrischen Substitution vorbeiführen.
Gruß
MathePower
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Ja, wie? Ich weiß wirklich nicht weiter. Ich hab immer nach irgendwelchen Identitäten gesucht, sodass sich vernünftige Restintegrale ergeben, aber hier krieg ich das nicht hin. Kann mir denn keiner, der weiß, wie das geht, mal zeigen, was genau ich tun muss?
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Hallo micha_goes_ti,
> Ja, wie? Ich weiß wirklich nicht weiter. Ich hab immer
> nach irgendwelchen Identitäten gesucht, sodass sich
> vernünftige Restintegrale ergeben, aber hier krieg ich das
> nicht hin. Kann mir denn keiner, der weiß, wie das geht,
> mal zeigen, was genau ich tun muss?
Nun, subsituiere [mm]x=R*\sin\left(t\right)[/mm].
Dann ist [mm]dx=R*\cos\left(t\right) \ dt[/mm]
Das setzt Du jetzt in das Integral ein.
Durch die Substitution ändern sich nätürlich auch die Grenzen.
Gruß
MathePower
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> Berechnen sie [mm]\integral_{}^{}{\integral_{}^{}{x^2y^2 dxdy}}[/mm]
> über der Menge [mm]M = \{x,y \in \IR^2 | x^2 + y^2 \le R^2, y \ge 0, x \ge 0 \}[/mm]
> mit [mm]R > 0[/mm] durch Rückführung auf eindimensionale Integrale
> ohne Verwendung von Polarkoordinaten.
Da ist doch wirklich die genaue Reihenfolge
der Integrationen und die Festsetzung der
Grenzen entscheidend !
Das kreisscheibenförmige Integrations-
gebiet "scannt" man in x-y-Koordinaten
am einfachsten mit:
$\ [mm] \integral_{x=0}^{R}x^2*\left(\integral_{y=0}^{\sqrt{R^2-x^2}}y^2*\,dy\right)\,dx$
[/mm]
Den Rest der Rechnung habe ich mir noch
nicht überlegt. Möglicherweise kommt man
da doch nicht ganz ohne trigonometrische
Substitution aus.
LG Al-chwarizmi
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Hallo Al,
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>
> [mm]\ \integral_{x=0}^{R}x^2*\left(\integral_{y=0}^{\sqrt{R^2-x^2}}y^2*\,dy\right)\,dx[/mm]
>
> Den Rest der Rechnung habe ich mir noch
> nicht überlegt. Möglicherweise kommt man
> da doch nicht ganz ohne trigonometrische
> Substitution aus.
Tja, soweit (und noch weiter) war der Fragesteller in seinem allersersten post schon, es geht halt genau darum, wie man nun das verbleibende blöde Integral [mm] $\frac{1}{3}\int\limits_{x=0}^{R}{x^2\cdot{}\sqrt{(R^2-x^2)^3} \ dx}$ [/mm] weiter verarztet ...
>
>
> LG Al-chwarizmi
Gruß
schachuzipus
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> Hallo Al,
> >
> > [mm]\integral_{x=0}^{R}x^2*\left(\integral_{y=0}^{\sqrt{R^2-x^2}}y^2*\,dy\right)\,dx[/mm]
> >
> > Den Rest der Rechnung habe ich mir noch
> > nicht überlegt. Möglicherweise kommt man
> > da doch nicht ganz ohne trigonometrische
> > Substitution aus.
>
> Tja, soweit (und noch weiter) war der Fragesteller in
> seinem allersersten post schon, es geht halt genau darum,
> wie man nun das verbleibende blöde Integral
> [mm]\frac{1}{3}\int\limits_{x=0}^{R}{x^2\cdot{}\sqrt{(R^2-x^2)^3} \ dx}[/mm]
> weiter verarztet.
Hallo schachuzipus,
leider habe ich im Moment fürchterliche Probleme
mit meinem DSL-Anschluss. Alle paar Minuten
bricht der Kontakt ab, und ich weiss leider noch
nicht warum.
Da kann ich es mir aus Zeitgründen gar nicht
leisten, alles schon geschriebene genau durch-
zuschauen.
Ich brauche dringend Hilfe von meinem Provider,
von der Telefonnetzgesellschaft oder am Ende
von einem grossen Hammer ...
Gruß Al
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