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Forum "Integralrechnung" - Integration zweier Brüche
Integration zweier Brüche < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Integration zweier Brüche: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:24 Mo 28.02.2005
Autor: fry2

Hallo miteinander!

Ich habe einen kleinen Hänger...
Folgenden Schritt kann ich nicht nachvollziehen:

[-2 [mm] \integral \bruch{1}{(t+1)²} [/mm] dt + 2 [mm] \integral \bruch{1}{t²+1} [/mm] dt] = [mm] [\bruch{2}{t+1} [/mm] + 2arctan(x) + c]

Wie wird das integriert??

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
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Integration zweier Brüche: gar nicht schwer
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:40 Mo 28.02.2005
Autor: Hugo_Sanchez-Vicario

Hallo fry2,

du integrierst einfach beide Terme separat.

[mm]\int\frac{1}{(t+1)^2}dt=-\frac{1}{t+1}[/mm] z.B. durch Substitution und
[mm]\int\frac{1}{t^2+1}dt=\arctan{t}[/mm] durch Nachschauen in der Formelsammlung.

Hugo

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Integration zweier Brüche: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:48 Mo 28.02.2005
Autor: fry2

Ok, mit dem arctan ist nachvollziehbar :-)
Allerdings bekomme ich die Integration des anderen Terms nicht hin. Habe es schon mit der Quotientenregel versucht, hatte aber immer ein t im Zähler, was dort ja falsch ist. Kannst du mir vielleicht zeigen wie ich das ableiten kann?

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Integration zweier Brüche: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:59 Mo 28.02.2005
Autor: nitro1185

Hallo fry!!

Wie gesagt funktioniert es mit der Substitution:

[mm] \integral {\bruch{1}{(1+t)²} dt}= [/mm]

  y(t)=1+t  

  [mm] \bruch{dy}{dt}=1 [/mm]

=>  dy=dt  

=>   [mm] \integral {\bruch{1}{(1+t)²} dt}= \integral {y^{-2} dy}= [/mm]

= [mm] -\bruch{1}{y}= [/mm] resubstituieren: = [mm] -\bruch{1}{1+t} [/mm]

Alles klar?  MFG Daniel

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Integration zweier Brüche: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:27 Mo 28.02.2005
Autor: fry2

Wie kommst du denn auf  [mm] -\bruch{1}{y} [/mm] ?
Ist denn  [mm] x^{-n} [/mm] nicht gleich  [mm] -\bruch{1}{ x^{n}}, [/mm] sprich das müsste hier [mm] -\bruch{1}{ y^{2}} [/mm] sein?

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Integration zweier Brüche: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:38 Mo 28.02.2005
Autor: Astrid


> Wie kommst du denn auf  [mm]-\bruch{1}{y}[/mm] ?
>  Ist denn  [mm]x^{-n}[/mm] nicht gleich  [mm]-\bruch{1}{ x^{n}},[/mm] sprich
> das müsste hier [mm]-\bruch{1}{ y^{2}}[/mm] sein?
>  

Hallo,

es gilt [mm]x^{-n}=\bruch{1}{x^n}[/mm]

Viele Grüße
Astrid

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Integration zweier Brüche: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:06 Mo 28.02.2005
Autor: fry2

Hmm irgendwie verstehe ich nicht wie du auf  [mm] y^{-2} [/mm] und anschließend auf [mm] -\bruch{1}{y} [/mm] kommst...
Geht hier denn wirklich nur die Substitution?
Das bekomme ich nicht hin...

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Integration zweier Brüche: Erläuterung: Substitution
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:23 Mo 28.02.2005
Autor: Loddar

Hallo fry!


Nitro hatte doch substituiert: $y \ := \ 1+t$  mit $dy \ = \ dt$


Damit wird aus Deinem Integral:

[mm] $\integral_{}^{} {\bruch{1}{(1+t)^2} \ dt} [/mm] \ = \ [mm] \integral_{}^{} {\bruch{1}{y^2} \ dy} [/mm] \ [mm] \overbrace{=}^{(\star)} [/mm] \ [mm] \integral_{}^{} {y^{-2} \ dy} [/mm] \ [mm] \overbrace{=}^{(\star \star)} [/mm]  \ [mm] \bruch{y^{-2\red{+1}}}{-2\red{+1}} [/mm] \ = [mm] \bruch{y^{-1}}{-1} [/mm] \ = \ [mm] (-1)*\bruch{1}{y^1} [/mm] \ = \ [mm] -\bruch{1}{y} [/mm] \ = \ [mm] -\bruch{1}{1+t} [/mm] \ + \ C$

[mm] $(\star)$ [/mm]  :  Anwendung eines MBPotenzgesetzes: [mm] $a^{-m} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{a^m}$ [/mm]

[mm] $(\star \star)$ [/mm]  :  Anwendung der MBPotenzregel für Integration



Nun klar(er) ??


Loddar


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Integration zweier Brüche: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:40 Mo 28.02.2005
Autor: fry2

SUPER!

Vielen Dank für deine genaue Erklärung, jetzt habe ich es verstanden und kann die Aufgabe lösen!

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