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Integrierbarkeit der 1. Abl.: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 13:40 Do 10.08.2017
Autor: Die_Suedkurve

Hallo zusammen,

ich stehe vor dem Problem die folgende Fragestellung zu lösen (oder auch nicht :D):

Voraussetzungen:
[mm] $(\Omega, \mathcal{A}, \IP)$ [/mm] Wahrscheinlichkeitsraum
[mm] $\lambda$ [/mm] Lebesgue-Maß auf [mm] $\IR$ [/mm]
$X: [mm] (\Omega, \mathcal{A}) \to (\IR, \mathcal{B}(\IR))$ [/mm] reelle Zufallsvariable, wobei [mm] $\mathcal{B}(\IR)$ [/mm] die Borel-Sigma Algebra auf [mm] $\IR$ [/mm] bezeichnet
$E|X| < [mm] \infty$ [/mm]
$g: [mm] \IR \to \IR$ [/mm] absolut stetige Funktion
$E|g(X)| < [mm] \infty$ [/mm]

Ich behaupte nun, dass $E|g'(X)| < [mm] \infty$ [/mm] ist. Zumindest wäre es schön, wenn diese Behauptung richtig, da ich diese für eine andere Aussage benötige. :)

Hat jemand einen Tipp für mich, oder auch eine Ahnung, ob das richtig oder falsch sein könnte?
Falls diese in dieser Form nicht gilt, kann man irgendwelche weiteren Voraussetzungen machen, damit diese doch gilt?

Grüße
Die_Suedkurve

        
Bezug
Integrierbarkeit der 1. Abl.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:49 Fr 18.08.2017
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

deine Frage ist leider nicht mal wohldefiniert.
Nimm bspw. [mm] $X\equiv [/mm] 0, g(x) = [mm] \sqrt{x}$. [/mm]

D.h. obwohl g' [mm] $\lambda$-f.ü. [/mm] existiert, kann $X$ da so "viel" auf die Problemstellen abgebildet werden, dass das kaputt geht.
D.h. du benötigst mindestens schon mal, dass $P(X [mm] \in \{g' \text{ existiert nicht }\}) [/mm] = 0$.

Dann kannst du meines Erachtens nach aber $g$ auch als differenzierbar betrachten, weil du eh nur diesen Wertebereich beobachtest.

Hätte X eine (differenzierbare) Dichte, dann wäre nach Voraussetzung $E[|g(X)|] = - [mm] \int_{-\infty}^\infty [/mm] |g(x)| f(x) dx < [mm] \infty$ [/mm] und damit insbesondere [mm] $\lim_{x\to\infty} [/mm] |g(x)f(x)| = 0$

und damit mit partieller Integration

$E[g'(x)] = [mm] \int_{-\infty}^\infty [/mm] g'(x) f(x) dx = [mm] [g(x)f(x)]_{-\infty}^\infty [/mm] - [mm] \int_{-\infty}^\infty [/mm] g(x) f'(x) dx = - [mm] \int_{-\infty}^\infty [/mm] g(x) f'(x) dx$

Nun kannst du dir ja Integrationsbedingungen für f' überlegen :-)

Gruß,
Gono


Bezug
        
Bezug
Integrierbarkeit der 1. Abl.: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:20 Fr 18.08.2017
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
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