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Intervalladditivität Integral: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 01:28 Di 04.07.2017
Autor: X3nion

Hallo zusammen!

Da mein letzter Post "Satz zu Integralen" etwas unübersichtlich und lang gegen Ende geworden ist, habe ich mich dazu entschlossen, diesen neuen Beitrag zu eröffnen mit einem Beweis, welchen ich nun gefunden habe:

Der Satz lautete wie folgt:

Sei a < c < b und f: [a,b] $ [mm] \rightarrow \IR [/mm] $ eine Funktion. f ist genau dann integrierbar, wenn sowohl f| [a,c] als auch f| [c,b] integrierbar sind und es gilt dann

$ [mm] \integral_{a}^{b}{f(x) dx} [/mm] $ = $ [mm] \integral_{a}^{c}{f(x) dx} [/mm] $ + $ [mm] \integral_{c}^{b}{f(x) dx} [/mm] $


Beweis: Sei f :[a,b] [mm] \to \IR [/mm] Riemann-integrierbar und sei [mm] \epsilon [/mm] > 0. Nach dem Satz über Einschließung von Treppenfunktionen existieren [mm] \phi, \psi \in \tau[a,b] [/mm] mit [mm] \phi \le [/mm] f [mm] \le \psi [/mm] und [mm] \integral_{a}^{b}{(\psi - \phi) dx} [/mm] < [mm] \epsilon. [/mm]
Berechnet man nun das Integral von [mm] \psi [/mm] - [mm] \phi [/mm] mithilfe einer Teilung, die den Punkt c enthält, sieht man, dass auch

[mm] \integral_{a}^{c}{(\psi - \phi) dx} [/mm] < [mm] \epsilon [/mm] und [mm] \integral_{c}^{b}{(\psi - \phi) dx} [/mm] < [mm] \epsilon. [/mm] Daraus folgt die Riemann-integrierbarkeit von f auf den Einschränkungen [a,c] und [c,b].


Seien umgekehrt die Einschränkungen f| [a,c] und f| [c,b] Riemann-integrierbar.

Dann ist die Funktion [mm] f_{1} [/mm] : [a,b] [mm] \to \IR [/mm] definiert durch

[mm] f_{1}|_{[a,c]} [/mm] = [mm] f|_{[a,c]}, f_{1}|_{]c,b]} \equiv [/mm] 0

Riemann-integrierbar und [mm] \integral_{a}^{b}{f_{1} dx} [/mm] = [mm] \integral_{a}^{c}{f dx}. [/mm] Zum Beweis beachte man, dass die letzte Identität offensichtlich gilt, wenn f eine Treppenfunktion über [a,b] ist.
Mithilfe der Ungleichung [mm] \integral_{a}^{b}_{\*}{f(x) dx} \le \integral_{a}^{b}^{\*}{f(x) dx} [/mm] ergibt sich:

[mm] \integral_{a}^{c}{f dx} [/mm] = [mm] \integral_{a}^{c}_{\*}{f dx} \le \integral_{a}^{b}_{\*}{f_{1} dx} \le \integral_{a}^{b}^{\*}{f_{1} dx} \le \integral_{a}^{c}^{\*}{f dx} [/mm] = [mm] \integral_{a}^{c}{f dx} [/mm]

Genauso folgt, dass die Funktion [mm] f_{2}: [/mm] [a,b] [mm] \to \IR [/mm] definiert durch [mm] f_{2}|_{[a,c[} \equiv [/mm] 0, [mm] f_{2}|_{[c,b]} [/mm] = [mm] f|_{[a,c[} [/mm] Riemann-integrierbar ist mit [mm] \integral_{a}^{b}{f_{2} dx} [/mm] = [mm] \integral_{c}^{b}{f dx}. [/mm]

Mithilfe des Satzes über die Additivität von Integralen und der Tatsache, dass sich Riemann-Integrale unter Abänderung endlich vieler Funktionswerte nicht ändern, ergibt sich:

[mm] f_{1} [/mm] + [mm] f_{2} [/mm] und damit f ist Riemann-integrierbar auf [a,b] mit

[mm] \integral_{a}^{b}{f dx} [/mm] = [mm] \integral_{a}^{b}{(f_{1} + f_{2}) dx} [/mm] = [mm] \integral_{a}^{b}{f_{1} dx} [/mm] + [mm] \integral_{a}^{b}{f_{1} dx} [/mm] = [mm] \integral_{a}^{c}{f dx} [/mm] + [mm] \integral_{c}^{b}{f dx} [/mm]


----------------

Nun habe ich dazu ein paar Fragen.

1) Wieso sieht man bei Berechnung des Integrales [mm] \psi [/mm] - [mm] \phi [/mm] mithilfe einer Teilung, die den Punkt c enthält, auch:

[mm] \integral_{a}^{c}{(\psi - \phi) dx} [/mm] < [mm] \epsilon [/mm] und [mm] \integral_{c}^{b}{(\psi - \phi) dx} [/mm] < [mm] \epsilon [/mm] ?

Müsste man hierzu nicht die Gleichheit

$ [mm] \integral_{a}^{b}{\psi(x) dx}+\integral_{b}^{c}{\psi(x) dx}=\integral_{a}^{c}{\psi(x) dx} [/mm] $.

beweisen? Oder meint der Autor genau diesen Beweis?


2) Was meint der Autor mit "Zum Beweis beachte man, dass die letzte Identität offensichtlich gilt, wenn f eine Treppenfunktion über [a,b] ist." ? Welche Identität ist gemeint? Und soll f nicht eine normale Regelfunktion sein?

3) Wieso gilt [mm] \integral_{a}^{c}_{\*}{f dx} \le \integral_{a}^{b}_{\*}{f_{1} dx} [/mm] und [mm] \integral_{a}^{b}^{\*}{f_{1} dx} \le \integral_{a}^{c}^{\*}{f dx} [/mm] ? Es ist doch gemäß Definition $ [mm] f_{1}|_{[a,c]} [/mm] $ = $ [mm] f|_{[a,c]}, f_{1}|_{]c,b]} \equiv [/mm] $ 0 und somit wäre doch [mm] \integral_{a}^{c}_{\*}{f dx} [/mm] = [mm] \integral_{a}^{b}_{\*}{f_{1} dx} [/mm] ?

4) Was besagt die Ungleichungskette $ [mm] \integral_{a}^{c}{f dx} [/mm] $ = $ [mm] \integral_{a}^{c}_{*}{f dx} \le \integral_{a}^{b}_{*}{f_{1} dx} \le \integral_{a}^{b}^{*}{f_{1} dx} \le \integral_{a}^{c}^{*}{f dx} [/mm] $ = $ [mm] \integral_{a}^{c}{f dx} [/mm] $ ?

5) Wieso ist für

$ [mm] \integral_{a}^{b}{f dx} [/mm] $ = $ [mm] \integral_{a}^{b}{(f_{1} + f_{2}) dx} [/mm] $ = $ [mm] \integral_{a}^{b}{f_{1} dx} [/mm] $ + $ [mm] \integral_{a}^{b}{f_{1} dx} [/mm] $ = $ [mm] \integral_{a}^{c}{f dx} [/mm] $ + $ [mm] \integral_{c}^{b}{f dx} [/mm] $

die Tatsache wichtig, dass sich Riemann-Integrale unter Abänderung endlich vieler Funktionswerte nicht ändern?


Ich wäre euch wie immer dankbar! :-)


Viele Grüße,
X3nion

        
Bezug
Intervalladditivität Integral: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:51 Di 04.07.2017
Autor: leduart

Hallo
Frage 1 kapier ich nicht, anscheinend nimmst du plötzlich b als Zwischenpunkt statt a?
deine Gleichung stimmt so nicht.
und wenn c ein Punkt der Einteilung ist stimmt natürlich die behauptete Beziehung.
und dass die Behauptungen für Treppenfkt gilt , die wie [mm] f_1 [/mm] teilweise =0 sind ist doch klar?
was die Integrale mit dem Sternen oben oder unten vor f bedeuten weiss ich nicht.
wenn du das alles mal aufzeichnest, siehst du dass es wirklich sehr trivial ist
Gruß leduart

Bezug
                
Bezug
Intervalladditivität Integral: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 01:45 Mi 05.07.2017
Autor: X3nion


> Hallo
>   Frage 1 kapier ich nicht, anscheinend nimmst du
> plötzlich b als Zwischenpunkt statt a?
>   deine Gleichung stimmt so nicht.
>   und wenn c ein Punkt der Einteilung ist stimmt natürlich
> die behauptete Beziehung.
>   und dass die Behauptungen für Treppenfkt gilt , die wie
> [mm]f_1[/mm] teilweise =0 sind ist doch klar?
>  was die Integrale mit dem Sternen oben oder unten vor f
> bedeuten weiss ich nicht.
>  wenn du das alles mal aufzeichnest, siehst du dass es
> wirklich sehr trivial ist
>  Gruß leduart


Hallo leduart und Danke für deinen Post.

nunja es mag wirklich sehr trivial sein, nur nicht für mich ;-)

Kurz zur Schreibweise: Integral mit Sternchen oben bedeutet Oberintegral, mit Sternchen unten Unterintegral.

1) Wieso sieht man also bei Berechnung des Integrales $ [mm] \psi [/mm] $ - $ [mm] \phi [/mm] $ mithilfe einer Teilung, die den Punkt c enthält, auch:

$ [mm] \integral_{a}^{c}{(\psi - \phi) dx} [/mm] $ < $ [mm] \epsilon [/mm] $ und $ [mm] \integral_{c}^{b}{(\psi - \phi) dx} [/mm] $ < $ [mm] \epsilon [/mm] $  ein?

Ist es deshalb so: Sei [mm] (\psi [/mm] - [mm] \phi) \in \tau[a,b] [/mm] definiert bzgl. der Unterteilung a = [mm] x_{0} [/mm] < [mm] x_{1} [/mm] < ... < [mm] x_{n} [/mm] = b und sei [mm] (\psi [/mm] - [mm] \phi) [/mm] | [mm] ]x_{k-1}, x_{k}[ [/mm] = [mm] c_{k} [/mm] für k = 1, ..., n.

Entweder es ist c = [mm] x_{h} [/mm] für ein h [mm] \in \{0, 1, ..., n\}, [/mm] oder anderenfalls existiert ein h [mm] \in \{1, 2, ..., n\} [/mm] mit [mm] x_{h-1} [/mm] < c < [mm] x_{h} [/mm] und damit ist die Unterteilung

a = [mm] x_{0} [/mm] < [mm] x_{1} [/mm] < ... < [mm] x_{h-1} [/mm] < c < [mm] x_{h} [/mm] < ... < [mm] x_{n} [/mm] = b

eine zu [mm] \psi [/mm] - [mm] \phi [/mm] kompatible Unterteilung des Intervalls [a,b], die den Teilpunkt c enthält.

Es folgt, dass - ggf. durch Umindizierung - die Unterteilung a = [mm] x_{0} [/mm] < [mm] x_{1} [/mm] < ... < [mm] x_{h} [/mm] = c eine zu [mm] (\psi [/mm] - [mm] \phi) |_{[a,c]} [/mm] kompatible Unterteilung des Intervalls [a,b] und entsprechend c = [mm] x_{h} [/mm] < ... < [mm] x_{n} [/mm] = b eine zu  [mm] (\psi [/mm] - [mm] \phi) |_{[c,b]} [/mm] kompatible Unterteilung des Intervalls [c,b].

Es ergibt sich:

[mm] \integral_{a}^{b}{(\psi - \phi) dx} [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^{n} c_{k}(x_{k} [/mm] - [mm] x_{k-1}) [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^{h} c_{k}(x_{k} [/mm] - [mm] x_{k-1}) [/mm] + [mm] \summe_{k=h}^{n} c_{k}(x_{k} [/mm] - [mm] x_{k-1}) [/mm] = [mm] \integral_{a}^{c}{(\psi - \phi) dx} [/mm] + [mm] \integral_{c}^{b}{(\psi - \phi) dx} [/mm]

Da [mm] \phi \le [/mm] f [mm] \le \psi, [/mm] ist [mm] \psi [/mm] - [mm] \phi \ge [/mm] 0, folglich ergibt sich wegen [mm] \integral_{a}^{b}{(\psi - \phi) dx} [/mm] < [mm] \epsilon [/mm] erst recht auch [mm] \integral_{a}^{c}{(\psi - \phi) dx} [/mm] < [mm] \epsilon [/mm] und [mm] \integral_{c}^{b}{(\psi - \phi) dx} [/mm] < [mm] \epsilon. [/mm]


Wäre das soweit richtig gedacht?


2) Was meint der Autor mit "Zum Beweis beachte man, dass die letzte Identität offensichtlich gilt, wenn f eine Treppenfunktion über [a,b] ist." ? Welche Identität ist gemeint? Und soll f nicht eine normale Regelfunktion sein?

3) Wieso gilt [mm] \integral_{a}^{c}_{\*}{f dx} \le \integral_{a}^{b}_{\*}{f_{1} dx} [/mm] und $ [mm] \integral_{a}^{b}^{\*}{f_{1} dx} \le \integral_{a}^{c}^{\*}{f dx} [/mm] ? Es ist doch gemäß Definition [mm] f_{1}|_{[a,c]} [/mm] = [mm] f|_{[a,c]}, f_{1}|_{]c,b]} \equiv [/mm] 0 und somit wäre doch [mm] \integral_{a}^{c}_{\*}{f dx} [/mm] = [mm] \integral_{a}^{b}_{\*}{f_{1} dx} [/mm] und nicht  [mm] \integral_{a}^{c}_{\*}{f dx} \le \integral_{a}^{b}_{\*}{f_{1} dx} [/mm] ?

4) Was besagt denn die Ungleichungskette [mm] \integral_{a}^{c}{f dx} [/mm] = [mm] \integral_{a}^{c}_{\*}{f dx} \le \integral_{a}^{b}_{\*}{f_{1} dx} \le \integral_{a}^{b}^{\*}{f_{1} dx} \le \integral_{a}^{c}^{\*}{f dx} [/mm] = [mm] \integral_{a}^{c}{f dx}, [/mm] also wofür ist sie im Beweis relevant?

5) Wieso ist für

$ [mm] \integral_{a}^{b}{f dx} [/mm] $ = $ [mm] \integral_{a}^{b}{(f_{1} + f_{2}) dx} [/mm] $ = $ [mm] \integral_{a}^{b}{f_{1} dx} [/mm] $ + $ [mm] \integral_{a}^{b}{f_{1} dx} [/mm] $ = $ [mm] \integral_{a}^{c}{f dx} [/mm] $ + $ [mm] \integral_{c}^{b}{f dx} [/mm] $

der Aspekt wichtig, dass sich Riemann-Integrale unter Abänderung endlich vieler Funktionswerte nicht ändern?


Viele Grüße,
X3nion

Bezug
                        
Bezug
Intervalladditivität Integral: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:20 Sa 08.07.2017
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
        
Bezug
Intervalladditivität Integral: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 01:15 Fr 04.08.2017
Autor: X3nion

Hallo zusammen!

Ich habe eine Frage:

Wie würde man folgenden Sachverhalt beweisen:

$ [mm] \integral_{a}^{c}^{\*}{f(x) dx} \ge \integral_{a}^{b}^{\*}{f(x) dx}+\integral_{b}^{c}^{\*}{f(x) dx} [/mm] $

Wobei mit [mm] \* [/mm] damit jeweils die Oberintegrale gemeint sind.

Es würde ja eigentlich genügen, das Folgende zu zeigen:

[mm] \integral_{a}^{b}^{\*}{f(x) dx}+\integral_{b}^{c}^{\*}{f(x) dx} \le \integral_{a}^{c}^{\*}{f(x) dx} [/mm] + [mm] \epsilon [/mm]

für alle [mm] \epsilon [/mm] > 0.


Sei also $ [mm] \varepsilon>0 [/mm] $ beliebig vorgegeben.

Es existiert ein $ [mm] \psi_1\in\tau[a,b] [/mm] $ mit $ [mm] \psi_1\ge f|_{[a,b]} [/mm] $ und $ [mm] \int_a^b\psi_1(x)\;dx-\int_a^{b^{\*}}f(x)\;dx<\frac\varepsilon2 [/mm] $.
Auch existiert ein $ [mm] \psi_2\in\tau[b,c] [/mm] $ mit $ [mm] \psi_2\ge f|_{[b,c]} [/mm] $ und $ [mm] \int_b^c\psi_2(x)\;dx-\int_b^{c^{\*}}f(x)\;dx<\frac\varepsilon2 [/mm] $.

Denn sup und inf einer Menge lassen sich durch Elemente der Menge beliebig annähern.

Definiere $ [mm] \psi\colon[a,c]\to\IR [/mm] $ wie folgt:

     $ [mm] \psi(x):=\begin{cases}\psi_1(x),&x\in[a,b]\\\psi_2(x),&x\in]b,c]\end{cases} [/mm] $.

Dann ist $ [mm] \psi\in\tau[a,c] [/mm] $ mit $ [mm] \psi\ge [/mm] f $ und insgesamt

[mm] \integral_{a}^{b}^{\*}{f(x) dx}+\integral_{b}^{c}^{\*}{f(x) dx} \le \integral_{a}^{b} \psi(x) [/mm] dx + [mm] \integral_{b}^{c} \psi(x) [/mm] dx = [mm] \integral_{a}^{c} \psi(x) [/mm] dx = ...


Nun komme ich nicht weiter. Ist dieser Ansatz überhaupt zielführend?
Oder wie würdet ihr es machen / welche Tipps habt ihr?

Wäre für eure Antworten wie immer sehr dankbar!

Viele Grüße,
X3nion

Bezug
                
Bezug
Intervalladditivität Integral: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:36 Fr 04.08.2017
Autor: leduart

Hallo X3ion
Du machst es dir zu schwer mit diesem sehr formalen Rechnungen. Die einfache Idee ist doch, dass das Riemannintegral der GW einer konvergierenden Summe über Treppenfunktionen ist. Dass 2 Summen additiv sind ist direkt klar und wenn das für alle Unterteilungen, in denen der Teilpunkt b vorkommt so ist ist trivial. jetzt kannst du natürlich mit dem Unterschied [mm] \epsilon [/mm]  zwischen GW=Integral und  Ober und Untersumme das alles brav aufschreiben, einen Erkenntnisgewinn hast du dabei aber nicht.
Der GW =Integral liegt immer zwischen OS und US der Treppenfunktionen, die addieren sich weil es endliche Summen sin trivialerweise, und damit dann auch der GW, der dazwischen "gesandwicht" ist. konzentrier dich auf die Idee und mach es nicht komplizierter als es ist.
Kurz: formuliere die Aussage erst mal in Worten!
Wenn du das Integral als Fläche (mit Vorzeichen) unter der Funktion ansiehst ist es auch klar, dass sich Flächeninhalte addieren.
Gruß leduart

Bezug
                        
Bezug
Intervalladditivität Integral: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 19:26 Fr 04.08.2017
Autor: X3nion

Hallo leduart und Danke für deine Antwort!

Ich würde es gerne formal beweisen, denn die andere Ungleichung hat mir tobit09 sehr formal bewiesen.

Teil a)

> Zum Nachweis von $ [mm] \integral_{a}^{c}^{\*}{f(x) dx}=\integral_{a}^{b}^{\*}{f(x) dx}+\integral_{b}^{c}^{\*}{f(x) dx} [/mm] $
> würde ich "$ [mm] \le [/mm] $" und "$ [mm] \ge [/mm] $" separat beweisen.

> Etwa "$ [mm] \le [/mm] $":

> Es genügt, $ [mm] \integral_{a}^{c}^{\*}{f(x) dx} [/mm] $ $ [mm] \le [/mm] $ $ [mm] \integral_{a}^{b}^{\*}{f(x) dx} [/mm] $ + $ [mm] \integral_{b}^{c}^{\*}{f(x) dx} [/mm] $ + > $ [mm] \varepsilon [/mm] $ für alle $ [mm] \varepsilon>0 [/mm] $ zu zeigen.

> Sei also $ [mm] \varepsilon>0 [/mm] $ beliebig vorgegeben.

> Dann existiert ein $ [mm] \psi_1\in\tau[a,b] [/mm] $ mit $ [mm] \psi_1\ge f|_{[a,b]} [/mm] $ und $ [mm] \int_a^b\psi_1(x)\;dx-\int_{a}^{b^{\*}}{f(x) dx}<\frac\varepsilon2 [/mm] $.
> Ebenso existiert ein $ [mm] \psi_2\in\tau[b,c] [/mm] $ mit $ [mm] \psi_2\ge f|_{[b,c]} [/mm] $ und $ [mm] \int_b^c\psi_2(x)\;dx-\int_b^{c^{\*}}f(x)\;dx<\frac\varepsilon2 [/mm] $.

> Sei $ [mm] \psi\colon[a,c]\to\IR [/mm] $ definiert durch

    [mm] \psi(x):=\begin{cases}\psi_1(x),&x\in[a,b]\\\psi_2(x),&x\in]b,c]\end{cases} [/mm] $.

> Dann ist [mm] \psi\in\tau[a,c] [/mm] $ mit $ [mm] \psi\ge [/mm] f und daher

      $ [mm] $\int_a^{c^{\*}}f(x)\;dx\le\int_a^c\psi(x)\;dx=\int_a^b\psi(x)\;dx+\int_b^c\psi(x)\;dx=\int_a^b\psi_1(x)\; dx+\int_b^c\psi_2(x)\;dx<(\int_a^{b^{\*}}f(x)\;dx+\frac\varepsilon2)+(\int_b^{c^{\*}}f(x)\;dx+\frac\varepsilon2)=\int_a^{b^{\*}}f(x)\;dx+\int_b^{c^{\*}}f(x)\;dx+\varepsilon. [/mm]

q.e.d


Teil b)

Nun bräuchte ich eben Hilfestellungen zum Nachweis von [mm] \integral_{a}^{c}^{\*}{f(x) dx} \ge \integral_{a}^{b}^{\*}{f(x) dx}+\integral_{b}^{c}^{\*}{f(x) dx} [/mm]

bzw. gehen würde ja auch folgender Beweis:

[mm] \integral_{a}^{b}^{\*}{f(x) dx}+\integral_{b}^{c}^{\*}{f(x) dx} \le \integral_{a}^{c}^{\*}{f(x) dx} [/mm] + [mm] \epsilon [/mm] für alle [mm] \epsilon [/mm] > 0.


Angefangen hätte ich eben -

unter den selbigen Voraussetzungen

[mm] \psi_{1} \in \tau[a,b] [/mm] mit [mm] \psi_{1} \ge f|_{[a,b]} \int_a^b\psi_1(x)\;dx-\int_{a}^{b^{\*}}{f(x) dx}<\frac\varepsilon2 [/mm]

[mm] \psi_{2} \in \tau[b,c] [/mm] mit [mm] \psi_{2} \ge f|_{[b,c]} [/mm] und [mm] \int_b^c\psi_2(x)\;dx-\int_b^{c^{\*}}f(x)\;dx<\frac\varepsilon2 [/mm]  

sowie [mm] \psi\colon[a,c]\to\IR [/mm] definiert durch

    [mm] \psi(x):=\begin{cases}\psi_1(x),&x\in[a,b]\\\psi_2(x),&x\in]b,c]\end{cases} [/mm]

- wie folgt:

[mm] \integral_{a}^{b}^{\*}{f(x) dx}+\integral_{b}^{c}^{\*}{f(x) dx} \le \integral_{a}^{b}{\psi_{1}(x) dx}+\integral_{b}^{c}{\psi_{2}(x) dx} [/mm] < [mm] (\integral_{a}^{b}^{\*}{f(x) dx} [/mm] + [mm] \frac\varepsilon2) [/mm] + [mm] (\integral_{b}^{c}^{\*}{f(x) dx} [/mm] + [mm] \frac\varepsilon2) [/mm] = [mm] \integral_{a}^{b}^{\*}{f(x) dx} [/mm] + [mm] \integral_{b}^{c}^{\*}{f(x) dx} [/mm] + [mm] \varepsilon \le \integral_{a}^{c}^{\*}{f(x) dx} [/mm] + [mm] \epsilon. [/mm]

Damit dies alles stimmt, müsste nun [mm] \integral_{a}^{b}^{\*}{f(x) dx} [/mm] + [mm] \integral_{b}^{c}^{\*}{f(x) dx} \le \integral_{a}^{c}^{\*}{f(x) dx} [/mm] gelten, eben genau das Benutzte im letzten [mm] "\le". [/mm]
Aber genau das ist ja die nachzuweisende Ungleichheit.


Könnt ihr mir also helfen, diesen formalen Beweis zu führen?
Wäre euch wie immer sehr dankbar! :-)

Viele Grüße,
X3nion

Bezug
                                
Bezug
Intervalladditivität Integral: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 01:02 Sa 05.08.2017
Autor: leduart

Hallo
ich verstehe nicht was die mit einem Stern gekennzeichneten Ober - und Unterintegrale sein sollen.  Ja offensichtlich nicht die Treppenfunktionen , die mit [mm] \psi [/mm] und [mm] \phi [/mm] bezeichnet werden? Was dann?
Gruß ledum

Bezug
                                        
Bezug
Intervalladditivität Integral: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:16 Sa 05.08.2017
Autor: X3nion


> Hallo
>   ich verstehe nicht was die mit einem Stern
> gekennzeichneten Ober - und Unterintegrale sein sollen.  Ja
> offensichtlich nicht die Treppenfunktionen , die mit [mm]\psi[/mm]
> und [mm]\phi[/mm] bezeichnet werden? Was dann?
> Gruß ledum

Hi ledum!

[mm] \integral_{a}^{c}^{\*}{f(x) dx} [/mm] soll das Oberintegral darstellen, so zumindest wird es im Forster geschrieben.

Auch [mm] \int_{a}^{b^{\*}}{f(x) dx} [/mm] ist das Oberintegral, nur ist mir da der [mm] \* [/mm] neben die Obergrenze gerutscht.

Bezug
                                                
Bezug
Intervalladditivität Integral: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:03 So 06.08.2017
Autor: leduart

Hallo
ich hab den Forster nicht. Was ist der unterschied zwischen Integral und Oberintegral und Obersumme bzw Integral der oberen Treppemfunktion?
Für deine Summen reicht es doch mit dem GW der Ober und Untersummen zu argumentieren?
Gruß ledum

Bezug
                                                        
Bezug
Intervalladditivität Integral: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:25 So 06.08.2017
Autor: X3nion


> Hallo
>   ich hab den Forster nicht. Was ist der unterschied
> zwischen Integral und Oberintegral und Obersumme bzw
> Integral der oberen Treppemfunktion?
>  Für deine Summen reicht es doch mit dem GW der Ober und
> Untersummen zu argumentieren?
>  Gruß ledum


Hi ledum,

Das Oberintegral ist im Forster so definiert:

[mm] \integral_{a}^{b}^{\*}{f(x) dx} [/mm] := inf [mm] \{\integral_{a}^{b}{\phi(x) dx} : \phi \in \tau[a,b], \phi \ge f\} [/mm]

wobei f: [a,b] [mm] \to \IR [/mm] eine beliebige beschränkte Funktion und

[mm] \tau [/mm] [a,b] die Menge aller Treppenfunktionen über dem Intervall [a,b] ist.


Wie meinst du das mit dem Grenzwert der Ober- und Untersummen, meinst du die Riemann'schen Summen?


Viele Grüße,
X3nion

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Intervalladditivität Integral: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:38 So 06.08.2017
Autor: leduart

Hallo dann ist dieses  Oberintegral also für integrierbare  Funktionen gleich dem Integral? warum dann noch mit dem rechnen?
Gruß leduart

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Intervalladditivität Integral: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:00 So 06.08.2017
Autor: X3nion

Hallo ledum,

könnte man es so machen:

Sei [mm] \epsilon [/mm] > 0 beliebig vorgegeben.

Dann existiert ein [mm] \psi \in \tau[a,c] [/mm] mit [mm] \psi \ge [/mm] f, sodass
[mm] \integral_{a}^{c}^{\*}{f(x) dx} [/mm] + [mm] \epsilon \ge \integral_{a}^{c}{\psi(x) dx} [/mm]

Es ergibt sich weiter:

[mm] \integral_{a}^{c}{\psi(x) dx} [/mm]  = [mm] \integral_{a}^{b}{\psi(x) dx} [/mm] + [mm] \integral_{b}^{c}{\psi(x) dx} \ge \integral_{a}^{b}^{\*}{f(x) dx} [/mm] + [mm] \integral_{b}^{c}^{\*}{f(x) dx} [/mm]

Und somit insgesamt [mm] \integral_{a}^{c}^{\*}{f(x) dx} [/mm] + [mm] \epsilon \ge \integral_{a}^{b}^{\*}{f(x) dx} [/mm] + [mm] \integral_{b}^{c}^{\*}{f(x) dx} [/mm]


Wäre diese Argumentation soweit korrekt? Oder muss man [mm] \psi_{1} [/mm] für x [mm] \in [/mm] [a,b] und analog [mm] \psi_{2} [/mm] für x [mm] \in [/mm] ]b,c] definieren?


Viele Grüße,
X3nion

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Intervalladditivität Integral: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:20 Mo 07.08.2017
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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