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Inverse = Matrixpolynom: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:52 Mi 26.04.2017
Autor: Noya

Aufgabe
Sei [mm] T\in \IR^{n,n} [/mm] symmetrisch und positiv definit. Zeigen Sie, dass es ein Polynom p vom Grad kleiner oder gleich n-1 gibt, so dass

[mm] T^{-1}=p(T) [/mm]



Hallo ihr Lieben,
ich weiß nicht genau wie ich da heran gehen soll.

Was weiß ich :

Matrixpolynom : [mm] p(A)=\sum^{n}_{i=0}a_iA^i=a_0*I+a_1*A^1+...+a_n*A^n [/mm]

Da T symmetrisch und positiv definit ist gilt, dass alle EW [mm] \lambda \le [/mm] 0 und T ist diagonalisierbar und es ex eine invertierbare Matrix S : S^-1AS=D, wobei in S die EV [mm] x_i [/mm] zu den EW [mm] \lambda_i [/mm] von T stehen [mm] S=(x_1 [/mm] | ... | [mm] x_n [/mm] ) und [mm] D=diag\{\lambda_1,...,\lambda_n\}. [/mm]

[mm] p(T)=p(S^{-1}DS) [/mm] = [mm] \sum^{n}_{i=0}a_i(S^{-1}DS)^i [/mm] = [mm] a_0*I+a_1(S^{-1}DS)+a_2*(S^{-1}DS)^2+a_3*(S^{-1}DS)^3+...+a_n*(S^{-1}DS)^n [/mm]
[mm] =a_0*I+a_1(S^{-1}DS)+a_2*(S^{-1}DS)*(S^{-1}DS)+a_3*(S^{-1}DS)*(S^{-1}DS)*(S^{-1}DS)+...a_n*(S^{-1}DS)*...*(S^{-1}DS) [/mm]
[mm] =a_0*I+a_1(S^{-1}D*S)+a_2*(S^{-1}D*D*S)+a_3*(S^{-1}D*D*D*S)+...+a_n*S*D^n*S^{-1} [/mm]


bringt mir das irgendwas?

Oder über das Charakteristische Polynom...
Frage : char.Polynom einer nxn-Matrix ist hat doch immer den Grad n. oder?

Momentan glaube ich, dass das totaler Quatsch ist. Habt ihr da vielleicht mal Hilfe für einen Ansatz?

Danke ihr Lieben!!


        
Bezug
Inverse = Matrixpolynom: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:52 Do 27.04.2017
Autor: fred97

1. Ist $T$ sym. und positiv definit, so sind alle Eigenwerte >0. (Und nicht [mm] \le [/mm] 0 , wie Du geschrieben hast).

Damit ist 0 kein Eigenwert, also ist T invertierbar.

2. Sei [mm] c(t)=t^n+a_{n-1}t^{n-1}+....+a_1t+a_0 [/mm] das char. Polynom von T.

Da 0 kein Eigenwert von T ist, ist [mm] a_0=c(0) \ne [/mm] 0.

3. Cayley - Hamilton liefert:

[mm] 0=c(T)=T^n+a_{n-1}T^{n-1}+....a_1T+a_0I. [/mm]

Jetzt multipliziere die letzte Gleichung mit [mm] T^{-1} [/mm] durch, dividiere dann durch [mm] a_0 [/mm] und löse nach  [mm] T^{-1} [/mm] auf. Fertig !

Bemerkung: nirgends haben wir die Symmetrie von T gebraucht, auch nicht, dass T nur positive Eigenwerte hat.

Das Resultat ist also für jede invertierbare Matrix richtig.



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