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Forum "Gruppe, Ring, Körper" - Isomorphie zeigen,Faktorgruppe
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Isomorphie zeigen,Faktorgruppe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:52 Di 02.02.2016
Autor: sissile

Aufgabe
Seien [mm] m_1,..,m_k \in \mathbb{Z}_{>0}. [/mm]
Zeigen Sie [mm] m_1*...*m_i \mathbb{Z} [/mm] / [mm] m_1*..*m_{i+1} \mathbb{Z} \cong \mathbb{Z}/m_{i+1} \mathbb{Z} [/mm] für 1 [mm] \le [/mm] i < k

Die Frage ist bei der Nachhilfe aufgetaucht, diese konnte ich aber nicht total sauber eklären..

[mm] \mathbb{Z}/m_{i+1} \mathbb{Z} \cong \mathbb{Z}_{m_{i+1}} [/mm] mittels Homomorphiesatz angewandt auf [mm] \phi:\mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}_{m_{i+1}} [/mm] mittels [mm] \phi(x)= \overline{x} [/mm]


[mm] |m_1*...*m_i \mathbb{Z} [/mm] / [mm] m_1*..*m_{i+1}\mathbb{Z}|= m_{i+1} [/mm]
Hier konnte ich nicht sauber erklären warum das so ist:
[mm] m_1...m_i \mathbb{Z} [/mm] / [mm] m_1..m_{i+1} \mathbb{Z}=\{ a + m_1..m_{i+1} \mathbb{Z} | a \in m_1...m_i \mathbb{Z}\}=\{m_1..m_i + m_1..m_{i+1} \mathbb{Z}, m_1..m_i*2 + m_1...m_{i+1} \mathbb{Z},....,, m_1..m_i*m_{i+1} + m_1...m_{i+1} \mathbb{Z}\} [/mm]
Kann man das eleganter/sauberer beweisen? Zeigt man das eher mittel einer Abbildung [mm] \phi: m_1*...*m_i \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}_{m_{i+1}}? [/mm]

Wäre das geklärt:
[mm] m_1*...*m_i \mathbb{Z} [/mm] / [mm] m_1*..*m_{i+1}\mathbb{Z} [/mm] ist als Untergruppe der zyklischen Gruppe [mm] \mathbb{Z} [/mm] ebenfalls zyklisch also folgt [mm] m_1*...*m_i \mathbb{Z} [/mm] / [mm] m_1*..*m_{i+1}\mathbb{Z} \cong \mathbb{Z}_{m_{i+1}} [/mm]
Aus der Transitivität der Isomorphie folgt die Behauptung.

        
Bezug
Isomorphie zeigen,Faktorgruppe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:57 Di 02.02.2016
Autor: UniversellesObjekt

Wir sind uns wohl einig, dass [mm] $m\IZ/mn\IZ\cong \IZ/n\IZ$ [/mm] das ist, was wir haben wollen, falls [mm] $m\not=0$. [/mm] Man hat einen surjektiven Homomorphismus [mm] $\IZ\longrightarrow m\IZ\longrightarrow m\IZ/mn\IZ$, $x\longmapsto mx\longmapsto\overline{mx}$. [/mm] Es liegt [mm] $x\in\ker\iff mn\mid mx\iff n\mid x\iff x\in n\IZ$. [/mm] Aus dem Homomorphiesatz folgt alles.

Liebe Grüße,
KidinK

Bezug
                
Bezug
Isomorphie zeigen,Faktorgruppe: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:47 Mi 03.02.2016
Autor: sissile

Vielen Dank!
Alles wieder klar.

Liebe Grüße,
Sissi

Bezug
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