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Forum "Lineare Algebra - Moduln und Vektorräume" - K^X Vektorraum
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K^X Vektorraum: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:43 Di 19.12.2017
Autor: gopro

Aufgabe
(a) Es seien X eine Menge und K ein Körper. Beweisen Sie, dass [mm] K^X [/mm] mit der Addition und Skalarmultiplikation ein K-Vektorraum ist.
(b) Wir betrachten den C-Vektorraum V = [mm] C^R. [/mm] Welche der folgenden Mengen ist Untervektorraum von V?
(i) A = {f ∈ V : f (1) = 0},
(ii) B = {f ∈ V : f (0) = 1},
(iii) C = {f ∈ V : ∃c > 0 ∀x ∈R: |f (x)|≤ c}.


Hey,

bei der a) muss man ja Assoziatität, Kommutativität, Nullelement und Inverse bezgl. + zeigen und bzgl. * muss gelten: mit a,b [mm] \in [/mm] K: (a+b)*x=ax+bx, a(x+y)= ax+ay, (ab)x=a(bx) und 1x=x.
Nun habe ich keinen Plan, wie ich das bei [mm] K^x [/mm] zeigen soll, es wäre nett wenn mir einer nur ein paar von den oben genannten Dingen beispielhaft zeigen würde, den Rest schaffe ich dann bestimmt selbst :).

bei der b) sind die Kriterien ja der Nullvektor und das x+y und ax mit x [mm] \in [/mm] K auch in den Untervektorräumen sind. Wie kann ich das jetzt in den komplexen Zahlen zeigen???

        
Bezug
K^X Vektorraum: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:35 Di 19.12.2017
Autor: angela.h.b.


> (a) Es seien X eine Menge und K ein Körper. Beweisen Sie,
> dass [mm]K^X[/mm] mit der Addition und Skalarmultiplikation ein
> K-Vektorraum ist.

Hallo,

[mm] K^X [/mm] ist ja die Menge, welche Abbildungen von X nach K enthält.

Die Addition von Funktionen und Multiplikation von Funktionen mit Körperelementen wurden in der Vorlesung gewiß definiert:

Für [mm] f,g\in K^X [/mm] gilt:
[mm] f+g\in K^X [/mm] mit (f+g)(x):=f(x)+g(x) für alle [mm] x\in [/mm] X,
(k*f)(x)=k*f(x) für alle [mm] k\in [/mm] K, [mm] f\in K^X. [/mm]


Assoziativität:

zu zeigen ist: für [mm] f,g,\in K^X [/mm] gilt
(f+g)+h=f+(g+h).

Dafür mußt Du vorrechnen, daß für alle [mm] x\in [/mm] X gilt

((f+g)+h)(x)=(f+(g+h))(x).

Hierfür mußt Du die Definitionen verwenden, sowie die Rechengesetze im Körper K.

So: seien f,g,h [mm] \in [/mm] K, sei [mm] x\in [/mm] X.

Es ist

[mm] ((f+g)+h)(x)=(f+g)(x)+h(x)\qquad//qquad [/mm] Def. der Addition von Funktionen

=(f(x)+g(x))+h(x) [mm] \qquad//qquad [/mm] Def. der Addition von Funktionen

=f(x)+(g(x)+(x)) [mm] \qquad//qquad [/mm] Assziativgesetz in K

[mm] \vdots [/mm]


Die Kommutativität bekommst Du danach dann sicher auch hin.

Fürs neutrale Element überlege Dir, welche Funktion es tut, und rechne vor, daß sie es tut.

Wenn Du das hast, packst Du auch das inverse Element.

Leg einfach mal los jetzt, wenn es noch Probleme gibt, helfen wir weiter.

LG Angela












> (b) Wir betrachten den C-Vektorraum V = [mm]C^R.[/mm] Welche der
> folgenden Mengen ist Untervektorraum von V?
> (i) A = {f ∈ V : f (1) = 0},
> (ii) B = {f ∈ V : f (0) = 1},
> (iii) C = {f ∈ V : ∃c > 0 ∀x ∈R: |f (x)|≤ c}.
> Hey,

>

> bei der a) muss man ja Assoziatität, Kommutativität,
> Nullelement und Inverse bezgl. + zeigen und bzgl. * muss
> gelten: mit a,b [mm]\in[/mm] K: (a+b)*x=ax+bx, a(x+y)= ax+ay,
> (ab)x=a(bx) und 1x=x.
> Nun habe ich keinen Plan, wie ich das bei [mm]K^x[/mm] zeigen soll,
> es wäre nett wenn mir einer nur ein paar von den oben
> genannten Dingen beispielhaft zeigen würde, den Rest
> schaffe ich dann bestimmt selbst :).

>

> bei der b) sind die Kriterien ja der Nullvektor und das x+y
> und ax mit x [mm]\in[/mm] K auch in den Untervektorräumen sind. Wie
> kann ich das jetzt in den komplexen Zahlen zeigen?


Bezug
                
Bezug
K^X Vektorraum: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 08:23 Mi 20.12.2017
Autor: gopro

Vielen vielen Dank angela,

durch deine Hilfe habe ich die komplette a lösen können :-)).

Jetzt müsste mir nur noch jemand bei der b weiterhelfen.?

(b) Wir betrachten den C-Vektorraum V = [mm] C^R. [/mm] Welche der folgenden Mengen ist Untervektorraum von V?
(i) A = {f ∈ V : f (1) = 0},
(ii) B = {f ∈ V : f (0) = 1},
(iii) C = {f ∈ V : ∃c > 0 ∀x ∈R: |f (x)|≤ c}.

Bezug
                        
Bezug
K^X Vektorraum: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:49 Mi 20.12.2017
Autor: fred97


> Vielen vielen Dank angela,
>  
> durch deine Hilfe habe ich die komplette a lösen können
> :-)).
>  
> Jetzt müsste mir nur noch jemand bei der b weiterhelfen.?
>  
> (b) Wir betrachten den C-Vektorraum V = [mm]C^R.[/mm]



>  Welche der
> folgenden Mengen ist Untervektorraum von V?
> (i) A = {f ∈ V : f (1) = 0},
> (ii) B = {f ∈ V : f (0) = 1},
> (iii) C = {f ∈ V : ∃c > 0 ∀x ∈R: |f (x)|≤ c}.  


Dann nehmen wir doch mal f,g [mm] \in [/mm] A und ein [mm] \alpha \in \IC [/mm] her.

Die Frage ist, ob dann auch [mm] \alpha [/mm] f und f+g in A liegen.

Prüfe nun Du, ob [mm] (\alpha [/mm] f)(1)=0 und (f+g)(1)=0 ist. Ist beides der Fall, so ist A ein  Untervektorraum von V, anderenfalls nicht.

zu B: enthält denn B denn Nullvektor aus V ?

zu C: nehmen wir uns doch mal f,g [mm] \in [/mm] C und ein [mm] \alpha \in \IC [/mm] her.

Gibt es dann [mm] $c_1,c_2 [/mm] >0$ mit

  |(f+g)(x)| [mm] \le c_1 [/mm] für all x [mm] \in \IR [/mm] und |( [mm] \alpha f)(x)|\le c_2 [/mm] für all x [mm] \in \IR [/mm] ?

Wenn ja, so ist C ein Untervektorraum von V, anderenfalls nicht.

Bezug
                                
Bezug
K^X Vektorraum: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:46 Mi 20.12.2017
Autor: gopro

Ok,

dann müsste i) ja ein Untervektorraum sein, da das Nullelement existiert (da f(1)=0) und es gilt:
(a*f)(1)=a*f(1)=a*0=0 und
(g+f)(1)=g(1)+f(1)=0+0=0

ii) ist keine Unterraum da f(0)=1 nicht 0 wird und somit keine neutrales Element existiert!

iii)hier bin ich mir etwas unsicher, aber ich glaube, dass kein Unterraum existiert. Das Nullelement gibt es da f(0)=0<c gilt, aber
[mm] |(f+g)(x)|=|f(x)+g(x)|\le [/mm] |f(x)| + |g(x)| [mm] \le [/mm] c1 +c1 [mm] \not=c1 [/mm] ?

und |(a*f)(x)|=|(a*f(x)|= |a|*|f(x)| [mm] \le [/mm] |a|*c2 [mm] \not=c2 [/mm] ?

Bezug
                                        
Bezug
K^X Vektorraum: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:34 Mi 20.12.2017
Autor: angela.h.b.

Hallo,

> dann müsste i) ja ein Untervektorraum sein, da das
> Nullelement existiert von V,

die Funktion [mm] n:\IR\to \IC [/mm] mit n(x):=0 für alle [mm] x\in \IR, [/mm]
in A ist

> (da f(1)=0) und es gilt:
> (a*f)(1)=a*f(1)=a*0=0 und
> (g+f)(1)=g(1)+f(1)=0+0=0

Genau.

>

> ii) ist keine Unterraum

da die Funktion [mm] n:\IR\to \IC [/mm] mit n(x):=0 für alle [mm] x\in \IR, [/mm]
in A ist, da n(0)=0.

> da f(0)=1 nicht 0 wird und somit
> keine neutrales Element existiert!


>

> iii)hier bin ich mir etwas unsicher, aber ich glaube, dass
> kein Unterraum existiert. Das Nullelement gibt es

von V,
die Funktion [mm] n:\IR\to \IC [/mm] mit n(x):=0 für alle [mm] x\in \IR, [/mm]
ist in C,

> da
> f(0)=0<c gilt,

Na, für c=0 oder c=-3 stimmt das aber nicht!

Es ist in C, weil für alle [mm] x\in \IR [/mm] z.B. gilt

n(x)=0<1234.




> aber

Seien [mm] f,g\in [/mm] C.

dann gibt es [mm] c_1,c_2 [/mm] > 0 mit [mm] |f(x)|

> [mm]|(f+g)(x)|=|f(x)+g(x)|\le[/mm] |f(x)| + |g(x)| [mm]\le[/mm] c1 +c1
> [mm]\not=c1[/mm] ?

Das macht doch nichts! Du hast ein [mm] c_3>0 [/mm] gefunden, nämlich [mm] c_3=c_1+c_2, [/mm] so daß (f+g)(x)< [mm] c_3 [/mm] für alle [mm] x\in \IR. [/mm]

> und |(a*f)(x)|=|(a*f(x)|= |a|*|f(x)| [mm]\le[/mm] [mm] |a|*c_2 [/mm]

Und hier hast Du ebenfalls eine obere Schranke gefunden.

LG Angela

Bezug
                                                
Bezug
K^X Vektorraum: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:02 Mi 20.12.2017
Autor: gopro

Vielen Dank für eure Hilfe, ich hab es geschaft :-)

Bezug
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