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Forum "Lineare Abbildungen" - Kern der linearen Abbildung
Kern der linearen Abbildung < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Kern der linearen Abbildung: Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:59 Sa 25.03.2017
Autor: t1ffany

Aufgabe
Gegeben ist eine lineare Abbildung f : R³ -> R³ durch die Bilder der Basisvektoren
[mm] \vec{b1} [/mm] = [mm] \vektor{1\\0\\0},\vec{b2} [/mm] = [mm] \vektor{1\\1\\0} ,\vec{b3} [/mm] = [mm] \vektor{1\\1\\1} \mapsto f(\vec{b1}) [/mm] = [mm] \vektor{1\\2\\3} [/mm] , [mm] f(\vec{b2}) [/mm] = [mm] \vektor{4\\5\\6} [/mm] , [mm] f(\vec{b3}) [/mm] = [mm] \vektor{7\\8\\9} [/mm]
Bestimmen Sie die Menge aller Vektoren, welche dabei auf den Nullvektor abgebildet werden.



Hallo!
Könnte mir jemand einen Tipp geben, wie ich bei dieser Aufgabe vorgehen muss?


Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Kern der linearen Abbildung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:35 Sa 25.03.2017
Autor: Diophant

Hallo,

vorneweg: den Link habe ich nicht angeschaut, da ich diese Vorgehensweise in einem seriösen Matheforum für unangebracht halte. Das abzutippen wäre dein Job (es gibt hier LaTeX!).

Des weiteren ist das eine absolute 08/15-Aufgabe. Folgende Herangehensweise empfehle ich dir dafür:

- Definition der Matrizenmultiplikation nachschlagen. Ist die verstanden, dann erhältst du deine Abbildungsmatrix A durch bloßes Einsetzen der Bilder der Basisvektoren (EDIT: nur wenn es sich um die kanonische Basis handelt).

- Das homogene LGS [mm] A*\vec{x}=0 [/mm] lösen. Die Lösungsmenge ist der gesuchte Kern.

Gruß, Diophant

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Kern der linearen Abbildung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:21 Sa 25.03.2017
Autor: t1ffany

Hallo,
danke für die schnelle Antwort.
Die Aufgabenstellung habe ich abgetippt.
Soweit weiß ich, wie ich bei der Kernberechnung vorgehen muss.
Allerdings bin ich mir nicht sicher, wie ich anhand der vorgegebenen Vektoren auf die Abbildungsmatrix komme.

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Kern der linearen Abbildung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:11 So 26.03.2017
Autor: Chris84


> Hallo,
>  danke für die schnelle Antwort.
>  Die Aufgabenstellung habe ich abgetippt.
>  Soweit weiß ich, wie ich bei der Kernberechnung vorgehen
> muss.
>  Allerdings bin ich mir nicht sicher, wie ich anhand der
> vorgegebenen Vektoren auf die Abbildungsmatrix komme.

Naja, fuer die Abbildungsmatrix $A$ gilt doch [mm] $Ab_i=f(b_i)$. [/mm] Wenn du das fuer die [mm] $b_i$'s [/mm] ausschreibst, bekommst du ein Gleichungssystem mit 9 Gleichungen und 9 Unbekannten, um die Komponenten von $A$ zu bestimmen ;)


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Kern der linearen Abbildung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 03:11 So 26.03.2017
Autor: t1ffany

Ich verstehe immernoch nicht was ich mit den 6 angegebenen Vektoren machen soll um auf die Abbildungsmatrix zu kommen.. :(

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Kern der linearen Abbildung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 06:58 So 26.03.2017
Autor: Chris84


> Ich verstehe immernoch nicht was ich mit den 6 angegebenen
> Vektoren machen soll um auf die Abbildungsmatrix zu
> kommen.. :(

Fuer die Abbildungsmatrix und [mm] $b_1$ [/mm] gilt doch [mm] $f(b_1)=Ab_1$, [/mm] also

[mm] $\vektor{1 \\ 2 \\ 3}=\pmat{ a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} } \vektor{1 \\ 0 \\ 0}=\vektor{a_{11} \\ a_{21} \\ a_{31}}$, [/mm]

also [mm] $a_{11}=1, a_{21}=2$ [/mm] und [mm] $a_{31}=3$. [/mm]

Nun analog fuer [mm] $b_2$ [/mm] und [mm] $b_3$.... [/mm]

Bezug
        
Bezug
Kern der linearen Abbildung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:37 So 26.03.2017
Autor: angela.h.b.


> Gegeben ist eine lineare Abbildung f : R³ -> R³ durch die
> Bilder der Basisvektoren
> [mm]\vec{b1}[/mm] = [mm]\vektor{1\\0\\0},\vec{b2}[/mm] = [mm]\vektor{1\\1\\0} ,\vec{b3}[/mm]
> = [mm]\vektor{1\\1\\1} \mapsto f(\vec{b1})[/mm] = [mm]\vektor{1\\2\\3}[/mm] ,
> [mm]f(\vec{b2})[/mm] = [mm]\vektor{4\\5\\6}[/mm] , [mm]f(\vec{b3})[/mm] =
> [mm]\vektor{7\\8\\9}[/mm]
> Bestimmen Sie die Menge aller Vektoren, welche dabei auf
> den Nullvektor abgebildet werden.

Hallo,

vielleicht verstehe ich Dein Problem:
prinzipiell kannst Du den Kern von Matrizen berechnen,
aber Du findest die Matrix nicht,
und diese findest Du nicht, weil Dir nicht die Bilder der Standardbasisvektoren gegeben sind?

Wenn man die Bilder der Standardbasisvektoren hat, bekommt man die Abbildungsmatrix ja einfach, indem man die Bildvektoren als Spalten in die Matrix schreibt.

Bei Deiner Aufgabe kennst Du, wie Chris es Dir auch vorgemacht hat, also bereits die erste Spalte der Matrix, denn Du weißt

[mm] f(\vektor{1\\0\\0})= \vektor{1\\2\\3}[/mm] [/mm] ,

also ist [mm] A=\pmat{1&.&.\\2&.&.\\3&.&.}. [/mm]


Jetzt brauchst Du [mm] f(\vektor{0\\1\\0}). [/mm]
Diesen kannst Du Dir aus den Angaben, die Dir vorliegen, errechnen,
indem Du die Linearität von f nutzt:

[mm] f(\vektor{0\\1\\0})=f(\vektor{1\\1\\0}-\vektor{1\\0\\0})=f(\vektor{1\\1\\0})-f(\vektor{1\\0\\0})=... [/mm]

Für den dritten Standardbasisvektor dann analog.

LG Angela


>  
>
> Hallo!
>  Könnte mir jemand einen Tipp geben, wie ich bei dieser
> Aufgabe vorgehen muss?
>  
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.


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Bezug
Kern der linearen Abbildung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:01 So 26.03.2017
Autor: t1ffany

Vielen Dank für die verständliche Erklärung.
Als Abbildungsmatrix habe ich dann
[mm] A=\pmat{1&3&3\\2&3&3\\3&3&3} [/mm] * [mm] \vektor{x\\y\\z}= \vektor{0\\0\\0} [/mm]
Mein Ergebnis lautet:
[mm] f(\vec{x})=\vektor{-3y-3z\\-z\\-y} [/mm]
Somit sollte gelten:
[mm] \lambda [/mm] * [mm] \vektor{0\\-1\\-1} [/mm] | [mm] \lambda \in \IR [/mm]
wenn ich mich nicht verrechnet habe. Kann mir das jemand bestätigen? :D

Bezug
                        
Bezug
Kern der linearen Abbildung: Antwort [editiert]
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:07 So 26.03.2017
Autor: Diophant

Hallo,

> Vielen Dank für die verständliche Erklärung.
> Als Abbildungsmatrix habe ich dann
> [mm]A=\pmat{1&3&3\\2&3&3\\3&3&3}[/mm] * [mm]\vektor{x\\y\\z}= \vektor{0\\0\\0}[/mm]

>

Die Abbildungsmatrix stimmt.

> Mein Ergebnis lautet:
> [mm]f(\vec{x})=\vektor{-3y-3z\\-z\\-y}[/mm]

Diese Notation verstehe ich nicht.

> Somit sollte gelten:
> [mm]\lambda[/mm] * [mm]\vektor{0\\-1\\-1}[/mm] | [mm]\lambda \in \IR[/mm]
> wenn ich
> mich nicht verrechnet habe. Kann mir das jemand
> bestätigen? :D

Das passt noch nicht ganz, die Vorzeichen von y und z müssen unterschiedlich sein und  das ganze könnte man noch professioneller notieren.


Gruß, Diophant

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