matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenLineare AbbildungenKern und Bild einer LA
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Deutsch • Englisch • Französisch • Latein • Spanisch • Russisch • Griechisch
Forum "Lineare Abbildungen" - Kern und Bild einer LA
Kern und Bild einer LA < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Lineare Abbildungen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Kern und Bild einer LA: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:14 Mo 20.04.2015
Autor: qwertz235

Aufgabe
Wir betrachten die folgende Abbildung:
[mm] f:\IR^{n,n}\rightarrow Abb(\IR^{n},\IR), A\mapsto f(A):=f_{A}, [/mm] wobei [mm] f_{A} [/mm] wie folgt definiert ist:
[mm] f_{A}:\IR^{n}\rightarrow \IR, x\mapsto f_{A}(x):=x^{T}Ax. [/mm]
Berechnen Sie Kern und Bild von f.

Für den Kern werden alle Matrizen [mm] A\in \IR^{n,n} [/mm] gesucht, für die [mm] f(A)=f_{A}=0 [/mm] ist, also alle Matrizen A, für die [mm] f_{A}(x)=x^{T}Ax=0 [/mm] für alle [mm] x\in\IR^{n} [/mm] gilt. Das kann doch eigentlich nur für die Nullmatrix gelten oder sehe ich das falsch?

Das Bild ist meiner Meinung nach der ganze Wertebereich, also [mm] Abb(\IR^{n},\IR), [/mm] aber ich wüsste nicht, wie ich das begründen soll.
Ich würde mich sehr über Hilfe freuen.

Viele Grüße!

        
Bezug
Kern und Bild einer LA: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:42 Mo 20.04.2015
Autor: leduart

Hallo
ich hab nicht im [mm] R^n [/mm] überlegt, aber wenn Ax auf die senkrechte von x dreht ist [mm] x^T [/mm] Ax=0 und A nicht die Nullmatrix.
Gruss ledum

Bezug
        
Bezug
Kern und Bild einer LA: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 05:39 Di 21.04.2015
Autor: fred97


> Wir betrachten die folgende Abbildung:
>  [mm]f:\IR^{n,n}\rightarrow Abb(\IR^{n},\IR), A\mapsto f(A):=f_{A},[/mm]
> wobei [mm]f_{A}[/mm] wie folgt definiert ist:
>  [mm]f_{A}:\IR^{n}\rightarrow \IR, x\mapsto f_{A}(x):=x^{T}Ax.[/mm]
>  
> Berechnen Sie Kern und Bild von f.
>  Für den Kern werden alle Matrizen [mm]A\in \IR^{n,n}[/mm] gesucht,
> für die [mm]f(A)=f_{A}=0[/mm] ist, also alle Matrizen A, für die
> [mm]f_{A}(x)=x^{T}Ax=0[/mm] für alle [mm]x\in\IR^{n}[/mm] gilt. Das kann
> doch eigentlich nur für die Nullmatrix gelten oder sehe
> ich das falsch?

Das siehst Du falsch. Schau Dir mal im Falle n=2 die Matrizen [mm] \pmat{ 0 & t \\ -t & 0 } [/mm] an.


>  
> Das Bild ist meiner Meinung nach der ganze Wertebereich,
> also [mm]Abb(\IR^{n},\IR),[/mm] aber ich wüsste nicht, wie ich das
> begründen soll.

Ich auch nicht, denn es ist falsch.


> Ich würde mich sehr über Hilfe freuen.


Experimentiere ein wenig im [mm] \IR^2 [/mm] und [mm] \IR^3. [/mm] Dann bekommst Du vielleicht eine Idee.

FRED

>
> Viele Grüße!


Bezug
                
Bezug
Kern und Bild einer LA: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:27 Di 21.04.2015
Autor: qwertz235

In Ordnung, danke erstmal. Mir fällt es ehrlich gesagt noch etwas schwer, vorzustellen, was das Bild sein könnte. Eine Matrix aus [mm] \IR^{n,n} [/mm] wird auf eine Abbildung zwischen [mm] \IR^{n} [/mm] und [mm] \IR [/mm] abgebildet. Ist das Bild dann das Bild der zweiten Abbildung?

Bezug
                        
Bezug
Kern und Bild einer LA: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:43 Mi 22.04.2015
Autor: fred97


> In Ordnung, danke erstmal. Mir fällt es ehrlich gesagt
> noch etwas schwer, vorzustellen, was das Bild sein könnte.
> Eine Matrix aus [mm]\IR^{n,n}[/mm] wird auf eine Abbildung zwischen
> [mm]\IR^{n}[/mm] und [mm]\IR[/mm] abgebildet. Ist das Bild dann das Bild der
> zweiten Abbildung?

Hä?

Bild(f) ist die Menge aller quadratischen Formen auf [mm] \IR^n [/mm]

http://de.wikipedia.org/wiki/Quadratische_Form

FRED


Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Lineare Abbildungen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]