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Kern und Bild einer Matrix: Rückfrage, Tipp, Idee, Hilfe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:53 Di 19.12.2017
Autor: Dom_89

Hallo,

ich habe eine kurze Verständnisfrage und hoffe, dass ihr mir hier helfen könnt!

Ich habe z.B. eine Matrix L= [mm] \pmat{ 1 & 0 & 2 \\ 1 & 1 & -1 \\ 0 & -1 & 3 } [/mm]

dann habe ich hierfür den Kern(L) = [mm] {t\vektor{-2 \\ 3 \\ 1 };t\in\IR} [/mm] bestimmt.

Nun besagt die Lösung, dass das Bild(L) = [mm] {r\vektor{1 \\ 1 \\ 0 }+s\vektor{0 \\ 1 \\ -1 };r,s\in\IR} [/mm]

Hier verstehe ich nun nicht, warum nicht auch noch die dritte Spalte [mm] \vektor{2 \\ -1 \\ 3 } [/mm] mit zur Lösung gehört!?

Könntet ihr mir da behilflich sein?

Vielen Dank

        
Bezug
Kern und Bild einer Matrix: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:06 Di 19.12.2017
Autor: angela.h.b.


> Hallo,

>

> ich habe eine kurze Verständnisfrage und hoffe, dass ihr
> mir hier helfen könnt!

>

> Ich habe z.B. eine Matrix L= [mm]\pmat{ 1 & 0 & 2 \\ 1 & 1 & -1 \\ 0 & -1 & 3 }[/mm]

>

> dann habe ich hierfür den Kern(L) = [mm]{t\vektor{-2 \\ 3 \\ 1 };t\in\IR}[/mm]
> bestimmt.

>

> Nun besagt die Lösung, dass das Bild(L) = [mm]{r\vektor{1 \\ 1 \\ 0 }+s\vektor{0 \\ 1 \\ -1 };r,s\in\IR}[/mm]

>

> Hier verstehe ich nun nicht, warum nicht auch noch die
> dritte Spalte [mm]\vektor{2 \\ -1 \\ 3 }[/mm] mit zur Lösung
> gehört!?

Hallo,

in der Tat wird das Bild aufgespannt von den drei Spaltenvektoren.

Man möchte aber normalerweise eine Basis des Bildes haben, also möglichst wenige linear unabängige Vektoren, die das Bild aufspannen.

Der dritte Spaltenvektor ist eine Linearkombination der beiden ersten!

LG Angela


>

> Könntet ihr mir da behilflich sein?

>

> Vielen Dank


Bezug
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