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Kettenbruch: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:05 So 11.03.2012
Autor: schneckennudel91

Aufgabe
Finden Sie alle natürlichen Zahlen n, sodass die Kettenbruchbruchdarstellung von [mm] \wurzel{n} [/mm] Periodenlänge 1 hat!

Hallo zusammen!

Ich bin etwas ratlos was obige Aufgabe betrifft...

Wenn ich annehmen dürfte, dass die Periode beim zweiten Argument des Kettenbruchs beginnt, also [mm] K(a,\overline{b}), [/mm] dann hätte ich zumindest eine Idee für einen Ansatz, nämlich:
[mm] x=a+\bruch{1}{b+\bruch{1}{b+\bruch{...}}} [/mm]
Dann könnte ich etwas umformen und einsetzen:

[mm] x-a=\bruch{1}{b+\bruch{1}{b+\bruch{...}}} [/mm]

[mm] x-a=\bruch{1}{b+x-a} [/mm]

Wenn ich das nach x auflöse erhalte ich:
[mm] x=\bruch{2a-b+\wurzel{b^2+4}}{2} [/mm]

Damit weiß ich zwar auch noch nicht so genau was anzufangen, aber vielleicht kann mir ja jemand von euch helfen? 
Ich würde mich sehr freuen :-)

Vielen Dank schon mal!

        
Bezug
Kettenbruch: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:23 So 11.03.2012
Autor: abakus


> Finden Sie alle natürlichen Zahlen n, sodass die
> Kettenbruchbruchdarstellung von [mm]\wurzel{n}[/mm] Periodenlänge 1
> hat!
>  Hallo zusammen!
>  
> Ich bin etwas ratlos was obige Aufgabe betrifft...
>  
> Wenn ich annehmen dürfte, dass die Periode beim zweiten
> Argument des Kettenbruchs beginnt, also [mm]K(a,\overline{b}),[/mm]
> dann hätte ich zumindest eine Idee für einen Ansatz,
> nämlich:
>  [mm]x=a+\bruch{1}{b+\bruch{1}{b+\bruch{...}}}[/mm]
> Dann könnte ich etwas umformen und einsetzen:
>  
> [mm]x-a=\bruch{1}{b+\bruch{1}{b+\bruch{...}}}[/mm]
>
> [mm]x-a=\bruch{1}{b+x-a}[/mm]
>  
> Wenn ich das nach x auflöse erhalte ich:
>  [mm]x=\bruch{2a-b+\wurzel{b^2+4}}{2}[/mm]
>  
> Damit weiß ich zwar auch noch nicht so genau was
> anzufangen, aber vielleicht kann mir ja jemand von euch
> helfen?
>  Ich würde mich sehr freuen :-)
>  
> Vielen Dank schon mal!

Hallo,
was du als "x" bezeichnest, müsste doch der zu entwickelnde Ausdruck [mm]\wurzel{n}[/mm] sein? Die Gleichung
[mm]\wurzel{n}=\bruch{2a-b+\wurzel{b^2+4}}{2}[/mm]
kann man quadrieren zu [mm]n=(\bruch{2a-b+\wurzel{b^2+4}}{2})^2[/mm], und jetzt müsste man schauen, für welche natürlichen Zahlen n man ein zugehöriges Paar (a,b) findet. Gruß Abakus

PS: Ich habe gerade mal etwas mit einer Tabellenkalkulation experimentiert und komme darauf, dass die Wurzeln von 2, 5, 10, 17, 26
... Kettenbrüche der Periodenlänge 1 besitzen.


Bezug
                
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Kettenbruch: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:57 So 11.03.2012
Autor: schneckennudel91

Vielen Dank für deine Antwort Abakus :-)
Da hast natürlich Recht, was [mm] x=\wurzel{n} [/mm] angeht!

Das legt nahe, dass die gesuchten Zahlen die Form [mm] m^2+1 [/mm] haben...

Daraus folgt, dass b gerade sein muss, weil n soll ja eine ganze Zahl werden. Mhm. Wenn ich für b also 2c einsetze, komme ich auf

n=(a - c + [mm] \wurzel{c^2+1} )^2 [/mm]

Oh ich sehe gerade, wenn ich in die "alte" Formel $ [mm] x=\bruch{2a-b+\wurzel{b^2+4}}{2} [/mm] $
b = 2a setze, würde ich genau [mm] m^2+1 [/mm] herausbekommen... Das muss ich jetzt nur noch rechtfertigen....

Aaaah n soll ja ganz sein und in der zweiten Formel kommt eine Wurzel vor,  die bei zufälliger Wahl von c sehr wahrscheinlich irrational ist.

Ah ok, ich glaub ich sehe es jetzt: Ich brauch die neue gekürzte Formel mit dem c gar nicht...
[mm] \wurzel{b^2+4} [/mm] ist immer irrational, weil [mm] b^2+4 [/mm] nie eine Quadratzahl sein kann, deshalb müssen sich das 2a und b löschen! Die Wurzel bleibt sonst beim Quadrieren immer.

Stimmt das so? 


Bezug
                        
Bezug
Kettenbruch: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:03 So 11.03.2012
Autor: MathePower

Hallo schneckennudel91,

> Vielen Dank für deine Antwort Abakus :-)
>  Da hast natürlich Recht, was [mm]x=\wurzel{n}[/mm] angeht!
>  
> Das legt nahe, dass die gesuchten Zahlen die Form [mm]m^2+1[/mm]
> haben...
>
> Daraus folgt, dass b gerade sein muss, weil n soll ja eine
> ganze Zahl werden. Mhm. Wenn ich für b also 2c einsetze,
> komme ich auf
>  
> n=(a - c + [mm]\wurzel{c^2+1} )^2[/mm]
>  
> Oh ich sehe gerade, wenn ich in die "alte" Formel
> [mm]x=\bruch{2a-b+\wurzel{b^2+4}}{2}[/mm]
>   b = 2a setze, würde ich genau [mm]m^2+1[/mm] herausbekommen...
> Das muss ich jetzt nur noch rechtfertigen....
>  
> Aaaah n soll ja ganz sein und in der zweiten Formel kommt
> eine Wurzel vor,  die bei zufälliger Wahl von c sehr
> wahrscheinlich irrational ist.
>
> Ah ok, ich glaub ich sehe es jetzt: Ich brauch die neue
> gekürzte Formel mit dem c gar nicht...
> [mm]\wurzel{b^2+4}[/mm] ist immer irrational, weil [mm]b^2+4[/mm] nie eine
> Quadratzahl sein kann, deshalb müssen sich das 2a und b
> löschen! Die Wurzel bleibt sonst beim Quadrieren immer.
>
> Stimmt das so?
>  


Ja, das stimmt so. [ok]


Gruss
MathePower

Bezug
                                
Bezug
Kettenbruch: Danke
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 08:11 Mo 12.03.2012
Autor: schneckennudel91

Vielen Dank, MathePower, fürs Drüberschauen! 

Bezug
                
Bezug
Kettenbruch: Korrekturmitteilung
Status: (Korrektur) kleiner Fehler Status 
Datum: 21:01 So 11.03.2012
Autor: MathePower

Hallo abakus,

> > Finden Sie alle natürlichen Zahlen n, sodass die
> > Kettenbruchbruchdarstellung von [mm]\wurzel{n}[/mm] Periodenlänge 1
> > hat!
>  >  Hallo zusammen!
>  >  
> > Ich bin etwas ratlos was obige Aufgabe betrifft...
>  >  
> > Wenn ich annehmen dürfte, dass die Periode beim zweiten
> > Argument des Kettenbruchs beginnt, also [mm]K(a,\overline{b}),[/mm]
> > dann hätte ich zumindest eine Idee für einen Ansatz,
> > nämlich:
>  >  [mm]x=a+\bruch{1}{b+\bruch{1}{b+\bruch{...}}}[/mm]
> > Dann könnte ich etwas umformen und einsetzen:
>  >  
> > [mm]x-a=\bruch{1}{b+\bruch{1}{b+\bruch{...}}}[/mm]
> >
> > [mm]x-a=\bruch{1}{b+x-a}[/mm]
>  >  
> > Wenn ich das nach x auflöse erhalte ich:
>  >  [mm]x=\bruch{2a-b+\wurzel{b^2+4}}{2}[/mm]
>  >  
> > Damit weiß ich zwar auch noch nicht so genau was
> > anzufangen, aber vielleicht kann mir ja jemand von euch
> > helfen?
> >  Ich würde mich sehr freuen :-)

>  >  
> > Vielen Dank schon mal!
>  Hallo,
>  was du als "x" bezeichnest, müsste doch der zu
> entwickelnde Ausdruck [mm]\wurzel{n}[/mm] sein? Die Gleichung
>   [mm]\wurzel{n}=\bruch{2a-b+\wurzel{b^2+4}}{2}[/mm]
>  kann man quadrieren zu
> [mm]n=(\bruch{2a-b+\wurzel{b^2+4}}{2})^2[/mm], und jetzt müsste man
> schauen, für welche natürlichen Zahlen n man ein
> zugehöriges Paar (a,b) findet. Gruß Abakus
>  
> PS: Ich habe gerade mal etwas mit einer Tabellenkalkulation
> experimentiert und komme darauf, dass die Wurzeln von 2, 5,
> 10, 17, 26
>  ... Kettenbrüche der Periodenlänge 1 besitzen.
>  


Die Wurzel von 26 besitzt bereits
einen Kettenbruch der Periodenlänge 2.

Eine fehlerhafte Interpretattion der Periodenlänge.meinerseits,
daher sind Deine ecperimentellen Werte richtig.


Gruss
MathePower

Bezug
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