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Kettenregel: Ballon
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:49 Mo 10.10.2016
Autor: Melli1988

Aufgabe
Ein kugelförmiger Ballon wird mit Gas aufgeblasen. Bei einem Radius von 20cm wächst der Radius mit einer Geschwindigkeit von 5cm pro Minute.
Wie schnell ändert sich das Volumen des Ballons zu diesem Zeitpunkt?

Ich helfe meinem kleinen Bruder, habe aber keinen Schimmer. Es wäre wirklich lieb, wenn mir das jemand erklärt. Es ist einfach zu lange her und ich möchte nicht doof dastehen.

Vielen Dank im Voraus.

        
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Kettenregel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:08 Mo 10.10.2016
Autor: fred97

Der Zusammenhang zwischen dem Radius r und dem Volumen V einer Kugel ist

  [mm] $V=\bruch{4}{3} \pi r^3$. [/mm]

Hilft Dir das weiter ?

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Kettenregel: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:12 Mo 10.10.2016
Autor: Melli1988

Nein, leider nicht. Das hatte ich schon. Ich weiß nur nicht, wie ich die Zeit da reinbringe...

Bezug
                        
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Kettenregel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:34 Mo 10.10.2016
Autor: huddel

Ich hoffe ich habe die Aufgabe richtig verstanden, aber hier mal meine Idee:

fred hat ja eben schon gemeint, dass das Kugelvolumen gegeben ist durch:

$A(r) = [mm] \frac{4}{3}\pi r^3$ [/mm]

Nun betrachten wir den Radius $r$ noch Zeitabhängig ($r(t)$) und bekommen:

$A(t) =  [mm] \frac{4}{3}\pi r(t)^3$ [/mm]

Leiten wir das nun nach der Zeit ab bekommen wir mit der Kettenregel:

[mm] $\frac{dA}{dt}(t) [/mm] =  [mm] \frac{d}{dt}\frac{4}{3}\pi r(t)^3$ [/mm]

$= [mm] 4\pi r(t)^2 \cdot \frac{dr}{dt}(t)$ [/mm]

Nun wissen wir zwar nicht, in welchem Zeitpunkt [mm] $t_0$ [/mm] wir uns befinden, jedoch wissen wir, dass:

[mm] $r(t_0) [/mm] = 20$

und

[mm] $\frac{dr}{dt}(t_0) [/mm] = 5$

ist. Was ist nun also [mm] $\frac{dA}{dt}(t_0)$? [/mm]

LG
Huddel :)

Bezug
                                
Bezug
Kettenregel: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:18 Mo 10.10.2016
Autor: Melli1988

Vielen, vielen Dank :)

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