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Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen" - Kettenregel, inhomogene Dgl
Kettenregel, inhomogene Dgl < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Kettenregel, inhomogene Dgl: Frage (reagiert)
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 18:41 So 13.03.2016
Autor: sissile

Aufgabe
Wir haben eine inhomogene lineare Dgl x'(t)=a(t) x(t) + g(t) mit [mm] x(t_0)=x_0 [/mm] gegeben.
Nun möchte ich mit ableiten zeigen, dass x(t)= [mm] x_0 A(t,t_0) [/mm] + [mm] \int_{t_0}^t [/mm] g(s) A(t,s) ds
eine Lösung der DGL ist,wobei [mm] A(t,t_0):= e^{\int_{t_0}^t a(s) ds} [/mm] eine Lösung der homogenen DGL ist .

Hallo,
Ich scheitere etwas daran die partikuläre Lösung abzuleiten. Also die Ableitung von [mm] \int_{t_0}^t [/mm] g(s) A(t,s) ds zu bestimmen.
Die mehrdimensionale Kettenregel ist mir bekannt und findet glaube ich hier ihren Einsatz.
Für [mm] \phi:t \rightarrow \phi(t)= \vektor{u(t) \\ v(t)}, [/mm] f: [mm] \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}. [/mm]
Bezeichne F:= f [mm] \circ \phi: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} [/mm]
[mm] \frac{d}{dt} [/mm] F(t)= [mm] \frac{d}{dt} [/mm] f [mm] (\phi(t)) [/mm] = (Df) [mm] (\phi(t))*D \phi= \frac{\partial f}{\partial u} \vektor{u(t) \\ v(t)} [/mm] * u'(t) + [mm] \frac{\partial f}{\partial v} \vektor{u(t) \\ v(t)} [/mm] * v'(t)

Wie muss ich [mm] \phi, [/mm] f wählen, sodass ich es auf dieses Bsp anwenden kann?
Mit [mm] \phi(t)= [/mm] (g(s), A(t,s)) und [mm] f(\phi(t))= \int_{t_0}^t [/mm] g(s) A(t,s) ds klappt das bei mir nicht.
LG,
sissi

        
Bezug
Kettenregel, inhomogene Dgl: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:15 So 13.03.2016
Autor: sissile

Nach einer endlichen Grübelzeit:
Definiere f(t,z):= [mm] \int_{t_0}^z [/mm] g(s) A(t,s) ds
Definiere h: (s,t) [mm] \mapsto [/mm] g(s) *A(t,s).
Frage 1 Wie sehe ich ob h stetig ist?Brauche ich dazu nicht eine Anforderungen der Stetigkeit von g?. Das brauche ich nämlich für meine Anwendungen des hauptsatzes der Differential und Integralrechnung sowie den Satz über differenzierbare Abhängigkeit von Parameter(Forster, Analysis 2, Satz:2 Kapitel:10)

h muss außerdem nach t stetig differenzierbar für meinen Satz über differenzierbare Abhängigkeit von Parameter:
[mm] \frac{d}{dt} [/mm] h (s,t)= g(s)*A'(t,s)= g(s) * a(t)* A(t,s)
Aus der Stetigkeit von A(t,s) folgt die Aussage.


[mm] \frac{\partial f}{\partial z} [/mm] (t,z) = g(s)*A(t,s) nach Hauptsatz der Diff- und Integralrechnung
[mm] \frac{\partial f}{\partial t} [/mm] (t,z)= [mm] \int_{t_0}^z [/mm] g(s) A'(t,s) ds nach Satz in der Analysis.

Definiere nun [mm] \phi(t)=(t,t) [/mm] und F:=f [mm] \circ \phi [/mm]
Nun die Kettenregel von Beitrag 1:
F'(t)= [mm] \frac{d}{dt} [/mm] (f [mm] \circ \phi)(t)= \frac{\partial f}{\partial t} [/mm] (t,t) *1 + [mm] \frac{\partial f}{\partial t} [/mm] (t,t) *1

Frage 2: Nun stört mich nur noch das t in der zweiten Summe bei der Ableitung im Nenner. Da müsste ein z hin...?

Bezug
                
Bezug
Kettenregel, inhomogene Dgl: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:25 Mo 14.03.2016
Autor: fred97


> Nach einer endlichen Grübelzeit:
>  Definiere f(t,z):= [mm]\int_{t_0}^z[/mm] g(s) A(t,s) ds

Gute Idee !


>  Definiere h: (s,t) [mm]\mapsto[/mm] g(s) *A(t,s).
>  Frage 1 Wie sehe ich ob h stetig ist?Brauche ich dazu
> nicht eine Anforderungen der Stetigkeit von g?.

Ja, das ist aber bei diesem Typ von DGL normalerweise vorausgesetzt.




>  Das brauche
> ich nämlich für meine Anwendungen des hauptsatzes der
> Differential und Integralrechnung sowie den Satz über
> differenzierbare Abhängigkeit von Parameter(Forster,
> Analysis 2, Satz:2 Kapitel:10)
>  
> h muss außerdem nach t stetig differenzierbar für meinen
> Satz über differenzierbare Abhängigkeit von Parameter:
>  [mm]\frac{d}{dt}[/mm] h (s,t)= g(s)*A'(t,s)= g(s) * a(t)* A(t,s)
>  Aus der Stetigkeit von A(t,s) folgt die Aussage.
>  
>
> [mm]\frac{\partial f}{\partial z}[/mm] (t,z) = g(s)*A(t,s) nach
> Hauptsatz der Diff- und Integralrechnung
>  [mm]\frac{\partial f}{\partial t}[/mm] (t,z)= [mm]\int_{t_0}^z[/mm] g(s)
> A'(t,s) ds nach Satz in der Analysis.
>  
> Definiere nun [mm]\phi(t)=(t,t)[/mm] und F:=f [mm]\circ \phi[/mm]
>  Nun die
> Kettenregel von Beitrag 1:
>  F'(t)= [mm]\frac{d}{dt}[/mm] (f [mm]\circ \phi)(t)= \frac{\partial f}{\partial t}[/mm]
> (t,t) *1 + [mm]\frac{\partial f}{\partial t}[/mm] (t,t) *1

Das stimmt so nicht. Nach der Kettenregel ist

$ [mm] F'(t)=\frac{d}{dt} [/mm] (f [mm] \circ \phi)(t)= \frac{\partial f}{\partial z}(t,t) [/mm] *1 + [mm] \frac{\partial f}{\partial t} [/mm] (t,t) *1$


>  
> Frage 2: Nun stört mich nur noch das t in der zweiten
> Summe bei der Ableitung im Nenner. Da müsste ein z hin...?

Ja, siehe oben.

FRED


Bezug
                        
Bezug
Kettenregel, inhomogene Dgl: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 13:26 Sa 26.03.2016
Autor: sissile

Hallo,
Danke für deinen Post!
Aber ist dann nicht auch in Beitrag 1:

> Für $ [mm] \phi:t \rightarrow \phi(t)= \vektor{u(t) \\ v(t)}=:\vektor{\phi(t)_1\\ \phi(t)_2}, [/mm] $ f: $ [mm] \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}. [/mm] $
> Bezeichne F:= f $ [mm] \circ \phi: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} [/mm] $
> $ [mm] \frac{d}{dt} [/mm] $ F(t)= $ [mm] \frac{d}{dt} [/mm] $ f $ [mm] (\phi(t)) [/mm] $ = (Df) $ [mm] (\phi(t))\cdot{}D \phi= \frac{\partial f}{\partial u} \vektor{u(t) \\ v(t)} [/mm] $ * u'(t) + $  [mm] \frac{\partial f}{\partial v} \vektor{u(t) \\ v(t)} [/mm] $ * v'(t)

ein Fehler in der Kettenregel?
(Df)  [mm] (\phi(t))\cdot{}D \phi [/mm] = [mm] \pmat{ \frac{\partial f}{\partial \phi(t)_1} ( \phi(t))& \frac{ \partial f}{\partial \phi(t)_2} ( \phi(t))} [/mm] * [mm] \pmat{ u'(t) \\ v'(t) } [/mm]
Ich dürfte doch in dem Schritt gar nicht unten schon die Koordinaten einsetzen? Denn vordem man einsetzt sollte man doch differenzieren!

Ich hoffe du kannst meine Unsicherheiten aufklären!
Liebe Grüße,
sissi

Bezug
                                
Bezug
Kettenregel, inhomogene Dgl: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:20 Mo 28.03.2016
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
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