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(Übungsaufgabe) Übungsaufgabe  | | Datum: | 15:44 Di 08.03.2005 | | Autor: | Christian |
Hallo allerseits!
Zur Entspannung vielleicht mal etwas, was nicht ganz so komplizierte Ansätze erfordert. Diese Sachr ist mir neulich bei meinem ja achs so interessanten Ferienjob nebenher aufgefallen... es ist, um die Geschichte der Idee kurz zu erläutern, eine Verallgemeinerung einer hübschen kleinen Wettbewerbsaufgabe auf Hannos Homepage.
Zur Sache:
Man beweise mit halbwegs schulverträglicher Mathematik:
Für jede Primzahl p>3 und alle [mm]a\in\IN[/mm] gilt: [mm]6p | a^p-a[/mm].
Zudem beweise man, daß für [mm]a\in \{2,...,p-1 \}[/mm] der Umkehrschluß gilt und stelle erstaunt (oder auch nicht  ) fest, daß man den kleinen Fermatsatz bewiesen hat.
Fand die Sache ziemlich schön, weil man einiges an Techniken anwenden kann.
Wäre ja schön, wenn sich dem einer widmet, muß ja nicht immer nur einer die Aufgaben posten 
Liebe Grüße,
Christian
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Hallo Christian,
Ich nehme mal an man darf den kl. Fermat nicht vorraussetzen:
als erstes will ich zeigen [mm] $6|a^p-a$:
[/mm]
[mm] $a^p-a=a(a^{\frac{p-1}{2}}+1)(a^{\frac{p-1}{2}}-1)$
[/mm]
[mm] $3\not|a \Rightarrow [/mm] 3| [mm] a^{\frac{p-1}{2}}+1 \vee a^{\frac{p-1}{2}}-1$
[/mm]
[mm] $2\not|a \Rightarrow [/mm] 2| [mm] a^{\frac{p-1}{2}} \pm [/mm] 1$
Somit gilt $(2| [mm] a^p-a \wedge 3|a^p-a [/mm] ) [mm] \gdw [/mm] 6| [mm] a^p-a$.
[/mm]
Und als nächstes beweise ich [mm] $p|a^p-a$, [/mm] also den kleinen Satz des Fermat:
Dies geht am einfachsten mit Vollständiger Induktion:
I: [mm] $p|1^p-1$
[/mm]
II: [mm](a+1)^p-(a+1)= a^p + \summe_{i=1}^{p-1} \vektor{p \\ i}a^{p-i} +1 - (a+1) \gdw a^p-a + \summe_{i=1}^{p-1} \vektor{p \\ i}a^{p-i}[/mm]
Da nun aber [mm] $p|\vektor{p \\ i}$ [/mm] für $0 [mm] \le [/mm] i [mm] \le [/mm] p-1 $ ist Fermat bewiesen.
Wie das mit der Umkehrung gemeint ist weiß ich nicht? Denn so wie ich es verstanden habe kann man das bekannte Gegenbeispiel [mm]341|2^{341}-2[/mm] anführen, denn es ist ja $2 [mm] \in \{2;3;...;340\}$; [/mm] Allerdings ist $341=31*11$ keine Primzahl.
Gruß Samuel
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> Hallo Christian,
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> Ich nehme mal an man darf den kl. Fermat nicht
> vorraussetzen:
>
> als erstes will ich zeigen [mm]6|a^p-a[/mm]:
> [mm]a^p-a=a(a^{\frac{p-1}{2}}+1)(a^{\frac{p-1}{2}}-1)[/mm]
> [mm]3\not|a \Rightarrow 3| a^{\frac{p-1}{2}}+1 \vee a^{\frac{p-1}{2}}-1[/mm]
>
> [mm]2\not|a \Rightarrow 2| a^{\frac{p-1}{2}} \pm 1[/mm]
> Somit gilt
> [mm](2| a^p-a \wedge 3|a^p-a ) \gdw 6| a^p-a[/mm].
>
Gut, ich hatte es faktorisiert, aber so geht es auch.
> Und als nächstes beweise ich [mm]p|a^p-a[/mm], also den kleinen Satz
> des Fermat:
> Dies geht am einfachsten mit Vollständiger Induktion:
>
> I: [mm]p|1^p-1[/mm]
> II: [mm](a+1)^p-(a+1)= a^p + \summe_{i=1}^{p-1} \vektor{p \\ i}a^{p-i} +1 - (a+1) \gdw a^p-a + \summe_{i=1}^{p-1} \vektor{p \\ i}a^{p-i}[/mm]
>
>
> Da nun aber [mm]p|\vektor{p \\ i}[/mm] für [mm]0 \le i \le p-1[/mm] ist
> Fermat bewiesen.
Gut gemacht.
Was ich mit dem Umkehrschluß gemeint habe, weiß ich, ehrlich gesagt, selbst nicht mehr, war wohl (mal wieder) nicht ganz bei der Sache.
Gruß,
Christian
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