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Kleine aber feine Zahlentheorie: Übungsaufgabe
Status: (Übungsaufgabe) Übungsaufgabe Status 
Datum: 14:32 Di 27.07.2004
Autor: Hanno

Hiho.
Auch wenn der eine Strang noch nicht beendet ist, will ich hier mal eine Aufgabe ( mal wieder Mathematikolympiaden ) stellen, wie sie in der Bundesrunde für 8.Klässler vorkam. Ich finde sie erstaunlich leicht, aber auch sehr schön, da sie einfach eine Reihe von logischen Folgerungen darstellt:

Man finde alle Primzahlen a,b,c,d die die Gleichungen
a+b=c
2a+b=d

erfüllen.

Gruß,
Hanno

        
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Kleine aber feine Zahlentheorie: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:27 Di 27.07.2004
Autor: Stefan

Lieber Hanno!

Ich habe die Aufgabe raus, aber ich nehme mal an, du willst nicht, dass ich sofort antworte, oder?

Vielleicht können sich ja mal ein paar Schüler daran versuchen. :-)

Liebe Grüße
Stefan

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Kleine aber feine Zahlentheorie: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:47 Di 27.07.2004
Autor: Hanno

Hi Stefan.
Genau, ich hatte die Aufgabe auch sehr schnell raus, doch denke ich, dass sie wirklcih eine sehr schöne Übung für andere wäre. So gesehen können wir ruhig ein paar Tage warten.

Also los, postet eure Vorschläge ( oder gleich eure lÖsungen ;-D )!!

Gruß,
Hanno

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Kleine aber feine Zahlentheorie: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:00 Di 27.07.2004
Autor: The_Lion

Es gibt keine Primzahlen, die die Bedingungen erfüllen, weil 2 Primzahlen addiert eine gerade Zahl ergäben, und gerade Zahlen sind keine Primzahlen.


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Kleine aber feine Zahlentheorie: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:03 Di 27.07.2004
Autor: Hanno

Hi Lion!
Es gibt eine Ausnahme, für welche die Gleichung doch gilt.
Nicht alle Primzahlen sind ungerade

Gruß,
Hanno

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Kleine aber feine Zahlentheorie: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:07 Di 27.07.2004
Autor: The_Lion

Achjo, ;)   stimmt.  ich war zu blöd ;=)

die 2

und selbst, wenn das, was ich zuvor gesagt hätte, wahr gewesen wäre (*) hätte ich noch die 2. Gleichung kontrollieren müssen, da hätte es ja evtl sein können, naja egal.


(*edit)

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Kleine aber feine Zahlentheorie: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:10 Di 27.07.2004
Autor: Hanno

Hi Lion.
Und wie geht es jetzt weiter?

Gruß,
Hanno

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Kleine aber feine Zahlentheorie: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:19 Di 27.07.2004
Autor: The_Lion

a=2 ; b=3 ; c=5 ; d=7

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Kleine aber feine Zahlentheorie: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:33 Di 27.07.2004
Autor: Hanno

Hi.
Aber es kann doch auch noch mehr Lösungen geben?

Gruß,
Hanno

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Kleine aber feine Zahlentheorie: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:43 Mi 28.07.2004
Autor: The_Lion

Soll man das durch raten lösen, oder eine Gleichung/Formel aufstellen ?


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Kleine aber feine Zahlentheorie: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:08 Mi 28.07.2004
Autor: Hanno

Hi Lion.
Du sollst logisch begründen, warum deine Lösung die einzig mögliche ist.

Gruß,
Hanno

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Kleine aber feine Zahlentheorie: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:11 Mo 02.08.2004
Autor: KaiAhnung

Hallo,

Ich denke, dass die Lösung von The Lion (a=2; b=3; c=5; d=7) die einzig mögliche ist. Es sollen ja die Gleichungen
a+b=c
2a+b=d
erfüllt sein. Daher muss entweder a oder b gleich 2 sein, da a + b sonst gerade wäre. Wenn b=2 wäre käme bei der zweiten Gleichung für d eine gerade Zahl heraus, daher muss a=2 sein. Also:
2+b=c
4+b=d
Wäre b eine Primzahl größer 3, so ließe sie sich durch b=3n+1 oder b=3n+2 beschreiben (b darf ja nicht durch 3 teilbar sein).
Für b=3n+1 wäre 2+b=2+3n+1=3n+3=c durch 3 teilbar und somit keine Primzahl.
Für b=3n+2 wäre 4+b=4+3n+2=3n+6=d durch 3 teilbar.
Daher darf b keine Primzahl größer 3 sein (muss also gleich 3 sein).

Stimmt das oder habe ich irgendwo einen Denkfehler gemacht?

MfG
Jan Henkel

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Kleine aber feine Zahlentheorie: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:37 Mo 02.08.2004
Autor: Christian

Hallo erstmal.

>  Wäre b eine Primzahl größer 3, so ließe sie sich durch
> b=3n+1 oder b=3n+2 beschreiben (b darf ja nicht durch 3
> teilbar sein).
>  Für b=3n+1 wäre 2+b=2+3n+1=3n+3=c durch 3 teilbar und
> somit keine Primzahl.
>  Für b=3n+2 wäre 4+b=4+3n+2=3n+6=d durch 3 teilbar.
>  Daher darf b keine Primzahl größer 3 sein (muss also
> gleich 3 sein).

Bin ich mir nicht so sicher... vielleicht lieg' ich aber auch schief, hab von Zahlentheorie keine Ahnung....

aus

2+b=d und
4+b=c folgt

c-d=2, dh. c und d sind mindestens Zwillinge. genauso wie b und d.
Daraus folgt unmittelbar, daß das Tripel (b,d,c) notwendigerweise ein Primzahldrilling sein muß. Meiner Ansicht nach erfüllt aber jeder Primzahldrilling (b,d,c) mit a=2 das  Gleichungssystem

a+b=d
2a+b=c.

somit gäbe es unendlich viele Lösungen.

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Kleine aber feine Zahlentheorie: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 03:03 Mi 04.08.2004
Autor: Stefan

Lieber Christian!

>> Bin ich mir nicht so sicher... vielleicht lieg' ich aber

> auch schief, hab von Zahlentheorie keine Ahnung....
>  
> aus
>
> 2+b=d und
>  4+b=c folgt
>  
> c-d=2, dh. c und d sind mindestens Zwillinge. genauso wie b
> und d.

[ok]

>  Daraus folgt unmittelbar, daß das Tripel (b,d,c)
> notwendigerweise ein Primzahldrilling sein muß.

[ok]

>  Meiner
> Ansicht nach erfüllt aber jeder Primzahldrilling (b,d,c)
> mit a=2 das  Gleichungssystem
>  
> a+b=d
>  2a+b=c.

[ok]
  

> somit gäbe es unendlich viele Lösungen.

[notok]

Denn: Wie viele Primzahldrillinge gibt es denn?

Genau eines, nämlich $(3,5,7)$.

Warum?

Von drei Zahlen $p,p+2,p+4$ ist genau eine durch $3$ teilbar (beachte: $p+4 [mm] \equiv [/mm] p + 1 [mm] \pmod{3}$) [/mm] und daher im Falle $p>3$ keine Primzahl.  

Liebe Grüße
Stefan


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Kleine aber feine Zahlentheorie: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:46 Mo 02.08.2004
Autor: Hanno

Hi.
Ich denke schon, dass das so richtig ist *ok* :-)
Glückwunsch!
Ich habe das ähnlich gemacht:
Ich habe mir die Zahlen a,x,b,x,c aufgemalt und bin die Fälle durchgegangen, die bei 5 aufeinanderfolgenden Zahlen bei Betrachtung der Teilbarkeit durch 3 entsteht. Dadurch bin ich auf das gleiche Ergebnis gekommen, auch wenn ich es nicht algebraisch gelöst habe.

Wunderbar, dann ist das ja endlich gelärt :-)

Gruß,
Hanno


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