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Kleinste Sigma-Algebren: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 08:45 Di 17.10.2017
Autor: TheBozz-mismo

Aufgabe
Sei [mm] \Omega [/mm] ={1,2,3,4}. Bestimmen Sie [mm] \sigma (A_1, A_2) [/mm] für
a) [mm] A_1= [/mm] {1,2} und [mm] A_2= [/mm] {3,4}
b) [mm] A_1= [/mm] {1,2,3} und [mm] A_2= [/mm] {3,4}

Hallo,
ich benötige Hilfe bei der Aufgabe bzw. Korrektur meines Lösungsvorschlags.
Also [mm] \sigma (A_1, A_2) [/mm] ist die  kleinste [mm] \sigma [/mm] Algebra, die die beiden Mengen enthält und durch die 3 Eigenschaften weiß ich auch, dass in der [mm] \sigma [/mm] Algebra auch immer alle Vereinigungen aller Mengen liegen
Bei a) wäre das einfach   [mm] \sigma (A_1, A_2) [/mm] = { {1,2,3,4},  {1,2}, {3,4}, [mm] \emptyset [/mm] }, da [mm] \Omega [/mm] drin liegt, jeweils die Komplemente alle Teilmengen und die Vereinigungen.
Bei b) wäre das [mm] \sigma (A_1, A_2) [/mm] = { {1,2,3,4},  {3,4}, {4}, {1,2,3},  [mm] \emptyset [/mm] }

Ist das richtig so oder habe ich Mengen vergessen und muss ich das noch näher begründen oder reicht das so?

Mit freundlichem Gruß

TheBozz-mismo

        
Bezug
Kleinste Sigma-Algebren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:54 Di 17.10.2017
Autor: Diophant

Hallo,

> Ist das richtig so oder habe ich Mengen vergessen und muss
> ich das noch näher begründen oder reicht das so?

Also die a) ist richtig. Bei der b) muss IMO noch {1,2} dazu, damit {3,4} ein Komplement besitzt. Außerdem fehlen noch die {1,2,4} und ihr Komplement {3} (die hatte ich auch vergessen).

Nachtrag: ich bekomme die Klammerfehler aus dem zitierten Text nicht heraus und habe ihn daher jetzt weitestgehend enfernt. Da spinnt wohl die Forensoftware einmal mehr...

Gruß, Diophant

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Bezug
Kleinste Sigma-Algebren: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:13 Di 17.10.2017
Autor: TheBozz-mismo

Hallo,
vielen Dank für deine Antwort. Stimmt, {1,2} bei b) muss auch noch darein. Hab ich wohl übersehen.

Lieben Gruß

TheBozz-mismo

Bezug
                        
Bezug
Kleinste Sigma-Algebren: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:34 Di 17.10.2017
Autor: donquijote


> Hallo,
>  vielen Dank für deine Antwort. Stimmt, {1,2} bei b) muss
> auch noch darein. Hab ich wohl übersehen.

Hallo, durch Vereinigung und Komplementbildung kommen dann noch 2 weitere Mengen dazu.

>  
> Lieben Gruß
>  
> TheBozz-mismo


Bezug
                                
Bezug
Kleinste Sigma-Algebren: Abklärung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:39 Di 17.10.2017
Autor: Diophant

Hallo donquijote,

> > vielen Dank für deine Antwort. Stimmt, {1,2} bei b)
> muss
> > auch noch darein. Hab ich wohl übersehen.

>

> Hallo, durch Vereinigung und Komplementbildung kommen dann
> noch 2 weitere Mengen dazu.

>

'2 weitere' ist vom Startbeitrag ausgehend gemeint, oder von meiner Antwort? Ich habe jetzt auch entdeckt, dass ich die Teilmenge {1,2,4} vergessen hatte. Aber ansonsten sehe ich jetzt nicht, was noch fehlen sollte?

Gruß, Diophant

Bezug
                                        
Bezug
Kleinste Sigma-Algebren: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:54 Di 17.10.2017
Autor: donquijote


> Hallo donquijote,
>  
> > > vielen Dank für deine Antwort. Stimmt, {1,2} bei b)
>  > muss

>  > > auch noch darein. Hab ich wohl übersehen.

>  >
>  > Hallo, durch Vereinigung und Komplementbildung kommen

> dann
>  > noch 2 weitere Mengen dazu.

>  >
>  
> '2 weitere' ist vom Startbeitrag ausgehend gemeint, oder
> von meiner Antwort? Ich habe jetzt auch entdeckt, dass ich
> die Teilmenge {1,2,4} vergessen hatte. Aber ansonsten sehe
> ich jetzt nicht, was noch fehlen sollte?

Hallo Diophant,
davon kommt noch das Komplement {3} dazu.
Grundsätzlich enthält eine endliche Sigma-Algebra immer alle denkbaren Vereinigungen von n Atomen und muss damit [mm]2^n[/mm] Elemente haben. D.h. wenn du 7 hast, muss noch (mindestens) eine fehlen.

>  
> Gruß, Diophant


Bezug
                                                
Bezug
Kleinste Sigma-Algebren: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:59 Di 17.10.2017
Autor: Diophant

Hallo,

> > '2 weitere' ist vom Startbeitrag ausgehend gemeint, oder
> > von meiner Antwort? Ich habe jetzt auch entdeckt, dass ich
> > die Teilmenge {1,2,4} vergessen hatte. Aber ansonsten sehe
> > ich jetzt nicht, was noch fehlen sollte?

>

> Hallo Diophant,
> davon kommt noch das Komplement {3} dazu.
> Grundsätzlich enthält eine endliche Sigma-Algebra immer
> alle denkbaren Vereinigungen von n Atomen und muss damit
> [mm]2^n[/mm] Elemente haben. D.h. wenn du 7 hast, muss noch
> (mindestens) eine fehlen.

Oh, natürlich. Ich trage es oben noch nach. Das war wohl zu früh am Morgen...

Vielen Dank!

Gruß, Diophant

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Kleinste Sigma-Algebren: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 08:48 Mi 18.10.2017
Autor: TheBozz-mismo

Vielen Dank für eure Antworten

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Bezug
Kleinste Sigma-Algebren: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 08:54 Mi 18.10.2017
Autor: TheBozz-mismo


>  Grundsätzlich enthält eine endliche Sigma-Algebra immer
> alle denkbaren Vereinigungen von n Atomen und muss damit
> [mm]2^n[/mm] Elemente haben. D.h. wenn du 7 hast, muss noch
> (mindestens) eine fehlen.
>  
> >  

> > Gruß, Diophant
>  

Hallo,
ich habe noch eine Frage zu deiner Aussage. Wenn ich z.B. ein [mm] \Omega [/mm] mit 7 Elemente habe, dann ist sind ich der Sigma-Algebra [mm] 2^7 [/mm] Mengen drin?
Und wenn man wie hier in der Aufgabe die kleinste Sigmaalgebra von 2 Mengen bestimmt(z. B. eine Menge hat 6 Elemente und die andere 9 Elemente), dann sind in der kleinsten Sigmaalgebra [mm] 2^9 [/mm] Elemente? Oder existiert dann auf jeden Fall eine Sigmaalegebra mit [mm] 2^9 [/mm] Elementen und man muss dann gucken, welche man weglassen kann, da man ja die kleinste Sigmaalgebra angeben soll.

Lieben Dank

Lieben Gruß

TheBozz-mismo

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Bezug
Kleinste Sigma-Algebren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:10 Mi 18.10.2017
Autor: Diophant

Hallo,

> Hallo,
> ich habe noch eine Frage zu deiner Aussage. Wenn ich z.B.
> ein [mm]\Omega[/mm] mit 7 Elemente habe, dann ist sind ich der
> Sigma-Algebra [mm]2^7[/mm] Mengen drin?
> Und wenn man wie hier in der Aufgabe die kleinste
> Sigmaalgebra von 2 Mengen bestimmt(z. B. eine Menge hat 6
> Elemente und die andere 9 Elemente), dann sind in der
> kleinsten Sigmaalgebra [mm]2^9[/mm] Elemente?

Das kann man so nicht sagen. Die Mächtigkeit einer endlichen [mm] \sigma-Algebra [/mm] ist immer eine Zweierpotenz. Auf der anderen Seite kannst du für jede beliebige Grundmenge [mm] \Omega [/mm] und eine Teilmenge [mm]A \subset \Omega[/mm] stets die [mm] \sigma-Algebra [/mm]

[mm]\left \{ \emptyset, A, A^C, \Omega \right \}[/mm]

bilden und sogar

[mm]\left \{ \emptyset, \Omega \right \}[/mm]

ist eine [mm] \sigma-Algebra. [/mm]

> Oder existiert dann
> auf jeden Fall eine Sigmaalegebra mit [mm] 2^9 [/mm] Elementen und man
> muss dann gucken, welche man weglassen kann, da man ja die
> kleinste Sigmaalgebra angeben soll.

Ja, genau. Und wie gesagt: nachzählen, damit du von meinem gestrigen Fehler verschont bleibst. ;-)



Gruß, Diophant

Bezug
                                                                
Bezug
Kleinste Sigma-Algebren: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:15 Mi 18.10.2017
Autor: TheBozz-mismo

Super. Danke für die schnelle Antwort

Lieben Gruß

TheBozz-mismo

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