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Koeffizientenvergleich: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:12 Do 02.06.2016
Autor: Ice-Man

Hallo,

ich habe leider ein Verständnisproblem. Aus diesem Grund poste ich mal 3 Gleichungen zum Koeffizientenvergleich.

1.

[mm] \bruch{3x^{2}+11x}{(x+5)(x^{2}+2x+5)}=\bruch{A}{x+5}+\bruch{Bx+C}{x^{2}+2x+5} [/mm]

2.

[mm] \bruch{x^{3}+x+5}{x^{2}(x^{2}+2x+10)}=\bruch{A}{x}+\bruch{B}{x^{2}}+\bruch{Cx+D}{x^{2}+2x+10} [/mm]

3.

[mm] \bruch{3x+33}{(x-1)(x+2)(x+5)}=\bruch{A}{x-1}+\bruch{B}{x+2}+\bruch{C}{x+5} [/mm]

Meine Frage bezieht sich jetzt jeweils auf die "rechte Seite" der Gleichungen.
Warum muss man bei Gleichung 1. Bx und bei Gleichung 2. Cx schreiben und brauch das bei Gleichung 3. nicht?
Das verstehe ich leider nicht.

Kann mir das evtl. jemand erklären?

Vielen Dank schon einmal.

        
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Koeffizientenvergleich: reelle und komplexe Polstellen
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:00 Do 02.06.2016
Autor: Infinit

Hallo Ice-man,
der unterschiedliche Ansatz liegt darin begründet, dass die Polstellen im Nenner auf der rechten Seiten unterschiedliche Nullstellen haben. Sind diese Nullstellen reell, so wie beispielsweise bei der dritten Gleichung, so genügt der Ansatz mit den einfachen Koeffizienten. Die Nullstelle von [mm] x^2 + 2x + 5 [/mm] ist jedoch eine quadratische und die Nullstellen, die dabei herauskommen, sind konjugiert komplex zueinander. Du hast jedoch keine komplexen Zahlen in Deinem Zähler stehen, also müssen alle Imaginärteile verschwinden. Dies berücksichtigt man bereits beim Ansatz für den Koeffizientenvergleich und kommt damit zu der Struktur, über die Du Dich wunderst.
Viele Grüße,
Infinit

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Bezug
Koeffizientenvergleich: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:24 Do 02.06.2016
Autor: Ice-Man

Ok, vielen Dank.

Wenn ich jetzt folgende Aufgabe habe,

[mm] F(s)=\bruch{s^{2}+4s+1}{s^{4}+s^{3}+\bruch{1}{4}s^{2}} [/mm] und diese in die Originalfunktion überführen soll würde ich einen Koeffizientenvergleich durchführen.

Nur leider mach ich da einen Fehler, denn ich erhalte nicht die gegebene Lösung.

Mein Anfang wäre,

[mm] F(s)=\bruch{s^{2}+4s+1}{s^{2}(s+\bruch{1}{2})^{2}}=\bruch{A}{s}+\bruch{B}{s^{2}}+\bruch{C}{s+\bruch{1}{2}}+\bruch{D}{(s+\bruch{1}{2})^{2}} [/mm]

Nur da passt ja jetzt irgendwas nicht.

Kann mir evtl. bitte jemand sagen wo mein Fehler ist?

Vielen Dank schon einmal

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Bezug
Koeffizientenvergleich: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:17 Do 02.06.2016
Autor: Steffi21

Hallo,

[mm] \bruch{s^2+4s+1}{s^4+s^3+\bruch{1}{4}s^2} [/mm]

[mm] =\bruch{4*(s^2+4s+1)}{4s^4+4s^3+s^2} [/mm]

[mm] =\bruch{4*(s^2+4s+1)}{s^2(2s+1)^2} [/mm]


[mm] \bruch{4*(s^2+4s+1)}{s^2(2s+1)^2}=\bruch{A}{s}+\bruch{B}{s^2}+\bruch{C}{2s+1}+\bruch{D}{(2s+1)^2} [/mm]


[mm] \bruch{4*(s^2+4s+1}{s^2(2s+1)^2}=\bruch{As*(2s+1)^2+B(2s+1)^2+Cs^2*(2s+1)+Ds^2}{s^2(2s+1)^2} [/mm]


jetzt ausmultiplizieren und sortieren nach Potenzen, bedenke dann noch den Faktor 4


Steffi




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Koeffizientenvergleich: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:53 Do 02.06.2016
Autor: Ice-Man

Und warum 4?

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Koeffizientenvergleich: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:59 Do 02.06.2016
Autor: Steffi21

Hallo, du hast den Bruch [mm] \bruch{1}{4} [/mm] den bist Du somit los
Steffi

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Koeffizientenvergleich: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:04 Do 02.06.2016
Autor: Ice-Man

Wenn ich jetzt nicht mit dem Faktor 4 multipliziere hätte ich das jetzt so geschrieben.
Das wäre dann aber somit falsch?

[mm] As(s+\bruch{1}{2})^{2}+B(s+\bruch{1}{2})^{2}+Cs^{2}(s+\bruch{1}{2})+Ds^{2} [/mm]

[mm] A(s^{3}+s^{2}+\bruch{1}{4}s)+B(s^{2}+s+\bruch{1}{4})+C(s^{3}+\bruch{1}{2}s)+Ds^{2} [/mm]

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Koeffizientenvergleich: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 04:44 Fr 03.06.2016
Autor: fred97


> Wenn ich jetzt nicht mit dem Faktor 4 multipliziere hätte
> ich das jetzt so geschrieben.
>  Das wäre dann aber somit falsch?
>  
> [mm]As(s+\bruch{1}{2})^{2}+B(s+\bruch{1}{2})^{2}+Cs^{2}(s+\bruch{1}{2})+Ds^{2}[/mm]
>  
> [mm]A(s^{3}+s^{2}+\bruch{1}{4}s)+B(s^{2}+s+\bruch{1}{4})+C(s^{3}+\bruch{1}{2}s)+Ds^{2}[/mm]
>  

das ist o.k.

fred

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Koeffizientenvergleich: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:34 Fr 03.06.2016
Autor: Ice-Man

Ok,

dann würde ich jetzt weiter wie folgt vorgehen,

[mm] s^{3}: [/mm]     A+C=0
[mm] s^{2}: [/mm]     A+B+D=1
[mm] s^{1}: [/mm]     A+B+C=4
[mm] s^{0}: [/mm]     B=1

Und das ist für mich jetzt ein Widerspruch


Bezug
                                                
Bezug
Koeffizientenvergleich: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:09 Sa 04.06.2016
Autor: angela.h.b.

Hallo,

Du vergleichst

[mm] \bruch{s^{2}+4s+1}{s^{4}+s^{3}+\bruch{1}{4}s^{2}}=\bruch{A(s^{3}+s^{2}+\bruch{1}{4}s)+B(s^{2}+s+\bruch{1}{4})+C(s^{3}+\bruch{1}{2}s)+Ds^{2}}{s^{4}+s^{3}+\bruch{1}{4}s^{2}} =\bruch{(A+C)s^{3}+(A+B+D)s^{2}+(\bruch{1}{4}A+B+\bruch{1}{2}C)s+\bruch{1}{4}B}{s^{4}+s^{3}+\bruch{1}{4}s^{2}} [/mm] .

Und wenn das nun so schön übersichtlich dasteht und Du neu vergleichst, werden Dir Deine Fehler auffallen.

LG Angela


> [mm]s^{3}:[/mm]     A+C=0
>  [mm]s^{2}:[/mm]     A+B+D=1
>  [mm]s^{1}:[/mm]     A+B+C=4
>  [mm]s^{0}:[/mm]     B=1
>  
> Und das ist für mich jetzt ein Widerspruch


>  


Bezug
                                                        
Bezug
Koeffizientenvergleich: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 07:45 Sa 04.06.2016
Autor: Ice-Man

Ah, es macht Sinn ;).

Dann schon einmal vielen Dank für deinen Tipp.

Ich sehe gerade, ich hätte das als Mitteilung, und nicht als Frage, schreiben müssen.
Sorry, denn ich weis nicht wie ich das noch ändern kann.


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