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Körper: Frage (reagiert)
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 09:04 Fr 03.11.2017
Autor: gopro

Aufgabe
Es sei K = Z×N = {(n,m) : n ∈Z und m ∈N} versehen mit den Abbildungen (Addition und Multiplikation) +: K×K→K, ((p,q),(r,s)) → (ps + rq,qs), ·: K×K→K, ((p,q),(r,s)) → (pr,qs). Zeigen Sie, dass (K,+,·) ein Körper ist. Dabei dürfen Sie nur die bekannten Rechenregeln für ganze Zahlen benutzen.


Huhu
hab ne ziemlich knifflige Aufgabe bokommen, wobei ich nicht genau weiß wie ich anfangen soll.
ist es richtig dass ich 6 sachen zeigen muss? das Nullelement, Einselemnt, additives und multiplikatives Inverses und die Abgeschlossenheit bei Addition und Multiplikation?
kann mir jemand helfen bitte

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Körper: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:50 Fr 03.11.2017
Autor: Diophant

Hallo,

bist du dir ganz sicher, dass die Aufgabenstellung so lautet:

> Zeigen Sie, dass (K,+,·) ein Körper ist.

?

So wie du die Multiplikation (komponentenweise) angegeben hast, erbt diese doch im Prinzip ihre Eigenschaften aus [mm] \IZ, [/mm] und das ist nun mal ein Ring und kein Körper, denn deine Multiplikation besitzt kein inverses Element.


Gruß, Diophant
 

Bezug
                
Bezug
Körper: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:46 Fr 03.11.2017
Autor: gopro

Also die Fragestellung ist zu 100% original. Kann aber sein dass man einen Ring zeigen muss da wir den auch in der Vorlesung hatten

der hinweis stan dnoch dabei:

Hinweis: Naürlich handelt es sich hierbei um den Körper Q der rationalen Zahlen, den Sie bereits aus der Schule kennen und üblicherweise schreibt man p q statt (p,q) und für die Addition beziehungsweise die Multiplikation schreibt man kurz p q + r s = ps + rq qs bzw. p q · r s = pr qs . Beachten Sie allerdings, dass dies erst einmal nur eine Schreibweise ist und man hier die Körperaxiome mit oben definierten Regeln nachweisen muss.

Bezug
                        
Bezug
Körper: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:53 Fr 03.11.2017
Autor: Diophant

Hallo,

> Also die Fragestellung ist zu 100% original. Kann aber sein
> dass man einen Ring zeigen muss da wir den auch in der
> Vorlesung hatten

>

> der hinweis stan dnoch dabei:

>

> Hinweis: Naürlich handelt es sich hierbei um den Körper Q
> der rationalen Zahlen, den Sie bereits aus der Schule
> kennen und üblicherweise schreibt man p q statt (p,q) und
> für die Addition beziehungsweise die Multiplikation
> schreibt man kurz p q + r s = ps + rq qs bzw. p q · r s =
> pr qs . Beachten Sie allerdings, dass dies erst einmal nur
> eine Schreibweise ist und man hier die Körperaxiome mit
> oben definierten Regeln nachweisen muss.

Sorry, das war mein Fehler. Jetzt mit dem Hinweis ergibt alles Sinn. Es geht um [mm] \IQ [/mm] und damit natürlich um einen Körper.

Auch so ergibt es keinen Sinn, wie tobit09 ja ausgeführt hat.


Gruß, Diophant

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Bezug
Körper: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:22 Fr 03.11.2017
Autor: tobit09

Hallo Diophant,

dein erster Einwand war schon berechtigt:
Bei K handelt es sich NICHT um den Körper [mm] $\IQ$. [/mm]
(Es fehlt die übliche Äquivalenzklassenkonstruktion auf K).

Viele Grüße
Tobias

Bezug
                                        
Bezug
Körper: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:03 Sa 04.11.2017
Autor: Diophant

Hallo,

> Hallo Diophant,

>

> dein erster Einwand war schon berechtigt:
> Bei K handelt es sich NICHT um den Körper [mm]\IQ[/mm].
> (Es fehlt die übliche Äquivalenzklassenkonstruktion auf
> K).

>

Ja, danke für den Hinweis. Da hatte ich nicht genau genug überlegt.


Gruß, Diophant

Bezug
        
Bezug
Körper: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:15 Fr 03.11.2017
Autor: tobit09

Hallo gopro und herzlich [willkommenmr]!


>  ist es richtig dass ich 6 sachen zeigen muss? das
> Nullelement, Einselemnt, additives und multiplikatives
> Inverses und die Abgeschlossenheit bei Addition und
> Multiplikation?

Du müsstest nachweisen, dass K der Definition eines Körpers (die du nachschlagen solltest) genügt.
Dazu wären u.a. die von dir genannten Eigenschaften, aber noch einige mehr zu zeigen.


In diesem Fall ist jedoch offenbar dem/der Aufgabensteller(in) ein Fehler unterlaufen:
K ist nämlich gar kein Körper!

Neutrale Elemente der Addition beziehungsweise Multiplikation sind $(0,1)$ bzw. $(1,1)$.
Z.B. das Element [mm] $(1,2)\in [/mm] K$ besitzt jedoch weder ein additiv noch ein multiplikativ Inverses.


Ich würde dem/der Aufgabensteller(in) eine Mail schreiben, in der ich freundlich auf den Fehler hinweisen würde, und um eine Korrektur der Aufgabenstellung bitten.


Viele Grüße
Tobias

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Körper: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:08 Fr 03.11.2017
Autor: gopro

Ok das ist ja lustig :).
könnte mir vll trotzdem jemand erklären wie man genau vorgehn würde und wie man die einzelnen punkte sonst beweist.?

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Bezug
Körper: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:09 Fr 03.11.2017
Autor: chrisno

Fang Du mal an. Da ich nicht mehr so in dem Geschäft drin bin, habe ich mal bei Wikipedia nachgesehen. Da sind es 12 Eigenschaften, die zu zeigen sind.
Zuerst: a+(b+c) = (a+b)+c
Das musst Du für drei beliebig gewählte a,b und c zeigen. Das wären dann (p,q), (r,s) und (t,u). Nun musst Du die Rechenregeln anwenden und zeigen, dass da Gleiche herauskommt. Also zuerst (r,s) und (t,u) addieren, dann (p,q) zum Ergebnis, danach (p,q) und (r,s) addieren, dazu (t,u).
Vielleicht ist es praktischer, zuerst das Kommutativgesetz zu zeigen.
Rechne nach den Regeln einmal  (r,s) + (t,u) aus und dann  (t,u) + (r,s).

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Körper: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:37 So 05.11.2017
Autor: gopro

Ich bin nochmal die Axiome durchgegangen und ist (q,p) nicht das multiplikative Inverse zu (p,q), da (p,q) mal (q,p) doch (1,1) geben müsste?

Bezug
                        
Bezug
Körper: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:26 So 05.11.2017
Autor: tobit09


> Ich bin nochmal die Axiome durchgegangen und ist (q,p)
> nicht das multiplikative Inverse zu (p,q), da (p,q) mal
> (q,p) doch (1,1) geben müsste?

So hat es sich vermutlich der/die Aufgabensteller(in) gedacht, liegt damit aber falsch:

Laut Aufgabenstellung ist für alle [mm] $(p,q)\in [/mm] K$ im Falle [mm] $(q,p)\in [/mm] K$ das Produkt $(p,q)*(q,p)=(p*q,q*p)=(p*q,p*q)$ und dies ist (außer im Falle $p=q=1$) nicht das Gleiche wie das Paar $(1,1)$.

Bezug
                        
Bezug
Körper: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:17 Mo 06.11.2017
Autor: HJKweseleit


> Ich bin nochmal die Axiome durchgegangen und ist (q,p)
> nicht das multiplikative Inverse zu (p,q), da (p,q) mal
> (q,p) doch (1,1) geben müsste?



Meine Vorgänger haben dir schon mitgeteilt, dass das Ganze kein Körper ist, wenn man nicht noch Äquivalenzklassen einführt.

Das bedeutet (ich mache es jetzt mal ganz einfach, ohne die komplizierte Äquivalenzklassenschreibweise):

Die Elemente (a|b) und (ka|kb) mit k [mm] \in \IZ^{\ne0} [/mm] werden als GLEICH angesehen. (Eigentlich: gleiche Äquivalenzklasse).

Daraus ergibt sich für a und b [mm] \ne [/mm] 0: (a|b)*(b|a)=(ab|ab)=(ab*1|ab*1)=(1|1).   ( hier wäre das k = ab)

Somit ist (b|a) das Inverse zu (a|b) und umgekehrt.


Wie kommt man darauf? Durch den Hinweis, dass (a|b) eine andere Schreibweise für den Bruch [mm] \bruch{a}{b} [/mm] sein soll und das Inverse von [mm] \bruch{a}{b} [/mm] der Bruch [mm] \bruch{b}{a} [/mm] ist, aber [mm] \bruch{a}{b}*\bruch{b}{a}=\bruch{ab}{ab} [/mm] ist und erst nach Kürzen zu 1 wird. Die Kürzungsregel fehlt aber und wird durch den obigen Zusatz der Äquivalenzregel ergänzt.

Nun kannst du auch die anderen Körpereigenschaften beweisen.


Bezug
                                
Bezug
Körper: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 08:11 Mo 06.11.2017
Autor: tobit09

Hallo HJKweseleit!


> Die Elemente (a|b) und (ka|kb) mit k [mm]\in \IZ^{\ne0}[/mm] werden
> als GLEICH angesehen. (Eigentlich: gleiche
> Äquivalenzklasse).
>  
> Daraus ergibt sich für a und b [mm]\ne[/mm] 0:
> (a|b)*(b|a)=(ab|ab)=(ab*1|ab*1)=(1|1).   ( hier wäre das k
> = ab)
>  
> Somit ist (b|a) das Inverse zu (a|b) und umgekehrt.

Etwas Vorsicht ist geboten, da laut der (ungünstig gewählten) Definition von K die zweite Komponente von Elementen von K eine natürliche Zahl sein muss.


> Die Elemente (a|b) und (ka|kb) mit k [mm]\in \IZ^{\ne0}[/mm] werden
> als GLEICH angesehen. (Eigentlich: gleiche
> Äquivalenzklasse).

Aber als (a|b) gleich werden i.A. nicht nur die Elemente (ka|kb) für k [mm]\in \IZ^{\ne0}[/mm] mit [mm] $(ka|kb)\in [/mm] K$ angesehen...

Damit sich die Aufgabe sinnvoll bearbeiten lässt, sollte schon klar sein, welche Elemente genau als gleich und welche als ungleich anzusehen sind.


> Nun kannst du auch die anderen Körpereigenschaften
> beweisen.

Allerdings macht es nur Sinn, irgendwelche Eigenschaften der Verknüpfungen + und * zu untersuchen, wenn diese überhaupt wohldefiniert sind.
Auch wenn man die Äquivalenzklassenbildung durch Formulierungen wie "als gleich ansehen" zu vermeiden versucht, sind für [mm] $(a|b)\in [/mm] K$ dann a und b nicht mehr eindeutig durch $(a|b)$ bestimmt, so dass zu überlegen ist, warum trotzdem (von der Wahl von Repräsentanten unabhängige) sinnvolle Verknüpfungs-Definitionen gegeben sind.

(Dazu muss natürlich klar sein, wann genau zwei Elemente von K als gleich anzusehen sind.)


Dem/der Fragesteller(in) würde ich wie gesagt empfehlen, zunächst mit dem/der Dozent(in) Rücksprache zu halten, ehe selbst gestaltete Uminterpretationen der Aufgabenstellung vorgenommen werden.


Viele Grüße
Tobias

Bezug
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