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Forum "Algebra" - Körper
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Körper: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:19 So 02.04.2006
Autor: cloe

Hallo,

kann mir jemand bitte bei folgendem Problem helfen.

Warum ist [mm] \IZ[\wurzel{-5}] [/mm] kein Körper und kein Euklidischer Ring , aber dafür Integritätsbereich?

[mm] \IZ[\wurzel{-5}] [/mm] ist doch kein Polynomring, oder?

Danke im voraus.

cloe



        
Bezug
Körper: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:43 So 02.04.2006
Autor: mathmetzsch

Hallo,

[mm] \IZ[\wurzel{-5}] [/mm] ist ja eine Ringadjunktion. Körper kommt also nicht infrage.

Dann kann man den Rest auch einfach zeigen. In ZPE-Ringen ist jedes Primelement auch unzerlegbar und anders herum auch. Wäre es also ein ZPE-Ring, dann würde das gelten. Du kannst dir ganz einfach ein Gegenbeispiel überlegen. Z.B. r=2.

Ich begründe das kurz:
In [mm] \IZ[\wurzel{-5}] [/mm] ist 2 unzerlegbar. Aus [mm] 2=(a+b\wurzel{-5})(c+d\wurzel{-5}) [/mm] folgt durch Anwendung der Norm [mm] 4=N(2)=(a^{2}+5b^{2})(c^{2}+5d^{2}), [/mm] also b=d=0 und [mm] a=\pm2,c=\pm1 [/mm] oder [mm] a=\pm1, c=\pm2. [/mm]

In [mm] \IZ[\wurzel{-5}] [/mm] ist 2 nicht Primelement. 2|6, [mm] 6=(1+\wurzel{-5})(1-\wurzel{-5}), [/mm] aber 2 teilt nicht [mm] (1\pm\wurzel{-5}). [/mm]

Jetzt weißt du weiter, dass [mm] \IZ[\wurzel{-5}] [/mm] auch kein HIR oder Euklidischer Ring sein kann, da gilt R Euklidischer Ring [mm] \Rightarrow [/mm] R HIR [mm] \Rightarrow [/mm] R ZPE-Ring.

Alles klar? Integritätsbereich dürfte klar sein...!

Viele Grüße
Daniel

Bezug
                
Bezug
Körper: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:49 So 02.04.2006
Autor: cloe

Irgendwie steh ich gerade auf dem Schlauch bzgl. Integritätsbereich :-/

Wahrscheinlich ist das trivial, und ich seh es einfach nicht.

Könntest du mir da noch bitte weiterhelfen?

Cloe

Bezug
                        
Bezug
Körper: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:54 So 02.04.2006
Autor: mathmetzsch

Hallo,

na ja trivial vielleicht nicht gerade. Man muss zeigen, dass dieser Ring nullteilerfrei ist. Der Rest ist trivial. Sieh mal in Anhang, da wird so ein Beispiel für einen ähnlichen Ring gerechnet. Wenn dann noch Fragen sind, dann frag!

Viele Grüße
Daniel

Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: pdf) [nicht öffentlich]
Bezug
                                
Bezug
Körper: Danke
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:01 So 02.04.2006
Autor: cloe

Danke für den Anhang. Das hilft mir weiter.

gruß, cloe

Bezug
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