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Körper, eind. Inverse: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:13 Sa 15.11.2014
Autor: Nyuu

Aufgabe
Ich habe in meinem Skript einen Beweis gefunden, den ich sehr fragwürdig finde.

Für [mm] x\in [/mm] K gibt es genau ein Element x', sodass x+x'=0, nämlich x'=x.

Der Beweis sieht folgendermaßen aus:

x+x'=0

[mm] \Rightarrow [/mm] -x+(x+x')=-x+0=-x

[mm] \overset{Ass.}= [/mm] (-x+x) + x' = 0+x'=x'

Also erstmal scheint etwas vor dem [mm] "\overset{Ass.}=" [/mm] zu fehlen.

Desweiteren habe ich doch beim folgepfeil einfach ein -x zur "0" addiert. Was soll daran nun ein Beweis für die eind. des -x sein? Ich hätte ja auch alles andere dahin addieren können.

Vor dem [mm] "\overset{Ass.}=" [/mm] könnte folgendes stehen:

-x + (x+x') [mm] \overset{Ass.}= [/mm] (-x+x) + x' = 0+x'=x'.


Also meine Frage ist, stimmt der Beweis so? Wenn ja warum? Das wirkt mehr als komisch.

mfg. Nyuu

        
Bezug
Körper, eind. Inverse: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 06:55 So 16.11.2014
Autor: angela.h.b.


> Ich habe in meinem Skript einen Beweis gefunden, den ich
> sehr fragwürdig finde.

>

> Für [mm]x\in[/mm] K gibt es genau ein Element x', sodass x+x'=0,
> nämlich x'=x.

Hallo,

das soll sicher heißen [mm] x'=\red{-}x. [/mm]

Zuvor, bei den Körperaxiomen, wurde sicher mitgeteilt, daß es zu jedem [mm] x\in [/mm] K ein Inverses bzgl der Addition gibt, welches als -x bezeichnet wird.

Nun wird angenommen, daß es zu [mm] x\in [/mm] K ein weiteres Element x' gibt mit x+x'=0,
und es wird gezeigt, daß dann x'=-x sein muß.

> Der Beweis sieht folgendermaßen aus:

Sei [mm] x\in [/mm] K, und sei x' ein inverses Element (bzgl. der Addition) von x.

Dann ist
>

> x+x'=0

Also ist

>  -x+(x+x')=-x+0=-x,

Gleichzeitig ist
-x+(x+x')

> [mm]\overset{Ass.}=[/mm] (-x+x) + x' = 0+x'=x'.

Also ist -x=x'.

LG Angela

Bezug
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