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Körperbeweis intuitionistisch: Frage (reagiert)
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 13:45 Sa 28.10.2017
Autor: tobit09

Aufgabe
Man beweise:

Jeder vollständige angeordnete Körper ist archimedisch angeordnet.

(Dabei heiße ein angeordneter Körper $K$ vollständig, wenn jede nichtleere nach oben beschränkte Teilmenge von $K$ ein Supremum besitzt.)

Hallo zusammen!


Der klassische Beweis ist für mich kein Problem.

Nun frage ich mich aus Interesse, ob auch ein intuitionistischer Beweis von obiger Aussage existiert?

Ich suche also entweder einen intuitionistischen Beweis oder die Betätigung, dass kein intuitionistischer Beweis existiert (z.B. mittels eines Brouwerschen Gegenbeispiels).

Kann mir jemand weiterhelfen?
Bisher habe ich erfolglos nach beiden Möglichkeiten gesucht.


Viele Grüße
Tobias

        
Bezug
Körperbeweis intuitionistisch: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:54 Sa 28.10.2017
Autor: UniversellesObjekt

Ich sollte vorab anmerken, dass ich mich (noch) nicht wirklich mit konstruktiver Mathematik auskenne. Daher nur einige Anmerkungen:

- Es gibt viele verschiedene, aber klassisch äquivalente Möglichkeiten, was ein Körper in konstruktiver Mathematik sein soll. Ein paar findet man []hier. Da aber die Existenz von Inversen bei dieser Frage hier vermutlich keine Rolle spielt, sollte das nicht so wichtig sein.

- Von einer nichtleeren beschränkten Menge zu fordern, dass sie ein Supremum haben soll, scheint konstruktiv nicht sinnvoll. Wenn man klassisch "nichtleer" schreibt, hat man konstruktiv meistens []bewohnt im Kopf, das heißt es gibt ein Element. "Nichtleer" heißt ja nur, dass es nicht kein Element gibt.

- Die übliche Definition von beschränkt klingt konstruktiv sinnvoll: $M$ ist beschränkt, wenn es ein $K$ gibt, sodass [mm] $m\le [/mm] K$ für alle [mm] $m\in [/mm] M$.

- Der (klassisch) einzige vollständig angeordnete Körper ist der Körper [mm] $\IR$ [/mm] der reellen Zahlen. Ich habe die Vermutung, dass er aber konstruktiv gar nicht vollständig angeordnet im üblichen Sinne ist. In der Tat, betrachte die Menge [mm] $M=\{x\in\IR\mid (x=0)\vee((x=1)\wedge\varphi)\}$, [/mm] wobei [mm] $\varphi$ [/mm] eine Abkürzung für die Kontinuumshypothese ist. Diese Menge ist sicherlich bewohnt (insbesondere nichtleer), denn es gilt [mm] $0\in [/mm] M$. Außerdem ist sie nach oben beschränkt, denn für alle [mm] $x\in [/mm] M$ gilt [mm] $x\le [/mm] 1$. Da $M$ durch $1$ beschränkt ist, gilt für [mm] $s=\sup [/mm] M$, dass [mm] $s\le [/mm] 1$... Hm, du weißt sicher worauf ich hinaus will, aber ich kriege das jetzt gerade nicht zuende gedacht, um (konstruktiv) zu entscheiden, dass [mm] $\varphi$ [/mm] oder [mm] $\neg\varphi$ [/mm] gilt. Bekommst du es hin? Ich bin mir insbesondere nicht ganz sicher, ob ich jetzt annehmen darf, dass $s=1$ oder $s<1$ gilt, und außerdem auch nicht ganz sicher, was $s<1$ in den reellen Zahlen bedeutet (es gibt einige verschiedene Möglichkeiten, eine $<$-Ordnung auf [mm] $\IR$ [/mm] zu beschreiben).

Über deine Frage habe ich jetzt noch gar nicht nachgedacht. Wenn du möchtest, kann ich, sofern wir nicht weiterkommen, mal bei Ingo Blechschmidt nachfragen.

Ein bisschen üben, konstruktiv zu denken, kann man übrigens im Klassiker der konstruktiven Analysis Constructive Analysis von Bishop und Bridges.

Liebe Grüße,
UniversellesObjekt

P.S.: Ich bin gerade noch auf den Wikipediaartikel []Constructive Analysis gestoßen. Dort heißt es: "Another difference between classical and constructive analysis is that constructive analysis does not accept the least upper bound principle, that any subset of the real line R has a least upper bound (or supremum), possibly infinite." Es wird aber keine Begründung abgegeben.

Bezug
                
Bezug
Körperbeweis intuitionistisch: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:11 Sa 28.10.2017
Autor: UniversellesObjekt

Ich habe behauptet, dass [mm] $\IR$ [/mm] nicht vollständig angeordnet sein kann. Ich bin mir aber jetzt auch nicht so sicher, dass das stimmen soll. Denn es lässt sich eigentlich ganz formal aus jeder Präordnung eine Vervollständigung (eigentlich Kovervollständigung) konstruieren:

Sei $X$ eine Präordnung und sei [mm] $\widehat{X}$ [/mm] die Menge aller nach unten abgeschlossenen Teilmengen $A$ von $X$ (d.h. [mm] $x\in [/mm] A$ und [mm] $y\le [/mm] x$ impliziert [mm] $y\in [/mm] A$), angeordnet bezüglich Inklusion. Betrachte [mm] $X\longrightarrow\widehat{X}$, $x\longmapsto\{y\in X\mid y\le x\}$. [/mm] Dies liefert eine Einbettung [mm] $X\longrightarrow\widehat{X}$ [/mm] (die zumindest für Halbordnungen $X$ wirklich injektiv ist, sonst nur volltreu). [mm] $\widehat{X}$ [/mm] ist abgeschlossen unter Vereinigungen, das heißt, unter Suprema. Das sollte alles ganz formal sein und konstruktiv kein Problem.*

Wenn man klassisch mit [mm] $X=\IQ$ [/mm] anfängt, liefert obige Konstruktion [mm] $\IR\cup\{\pm\infty\}$ [/mm] als Vervollstündigung. Ich weiß jetzt nicht genau, warum das auf einmal nicht mehr klappen sollte, wenn wir konstruktiv arbeiten.

*Wenn man die übliche Bijektion [mm] $P(X)\cong\{0,1\}^X$ [/mm] verwendet, korrespondieren die nach unten abgeschlossenen Teilmengen von $X$ genau zu den Ordnungsumkehrenden Abbildungen [mm] $X\longrightarrow\{0,1\}$ [/mm] a.k.a. [mm] $\{0,1\}$-wertigen [/mm] Prägarben auf $X$. Dies zeigt, das obige Konstruktion ein Spezialfall der Yoneda-Einbettung/universellen Kovervollständigung für [mm] $\{0,1\}$-angereicherte [/mm] Kategorien a.k.a. Präordnungen ist.

Bezug
                        
Bezug
Körperbeweis intuitionistisch: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:49 Mi 01.11.2017
Autor: UniversellesObjekt

Also mindestens hierzu kann ich schon einmal etwas interessantes sagen, was dir vielleicht ebenso wenig bewusst war, wie mir, dass nämlich [mm] $P(X)\cong\{0,1\}^X$ [/mm] gar nicht gilt. Die Abbildung [mm] $P(X)\longrightarrow\{0,1\}^X$ [/mm] lässt sich ja auch gar nicht hinschreiben. Außerdem ist [mm] $\{0,1\}$ [/mm] auch gar nicht vollständig angeordnet - mit derselben Menge $M$ als Begründung, wie die, die ich für [mm] $\IR$ [/mm] liefern wollte. Hier ist das auch etwas leichter zu verifizieren, weil das Supremum, wenn es existiert, nur $0$ oder $1$ sein kann. $P(X)$ ist natürlich trotzdem vollständig angeordnet.

Es gibt aber einen Ersatz für die schöne Formel [mm] $P(X)\cong\{0,1\}^X$. [/mm] Die Sache ist, dass [mm] $\{0,1\}$ [/mm] in der klassischen Mathematik die Rolle der Wahrheitswerte einnimmt. Unter der Bijektion [mm] $P(X)\cong\{0,1\}^X$ [/mm] korrespondiert eine Teilmenge [mm] $A\subseteq [/mm] X$ ja zu der Funktion [mm] $\chi_A\colon X\longrightarrow\{0,1\}$, [/mm] die jedem [mm] $x\in [/mm] X$ den Wahrheitswert der Aussage [mm] $x\in [/mm] A$ zuordnet, wobei [mm] $\operatorname{Wahrheitswert}(\varphi)=\begin{cases}0&\text{falls }\neg\varphi\\1&\text{falls }\varphi\end{cases}$. [/mm]

In der konstruktiven Mathematik nimmt [mm] $\Omega:= P(\{\ast\})$, [/mm] also die Potenzmenge einer einpunktigen Menge die Rolle der Menge aller Wahrheitswerte ein, wobei insbesondere [mm] $1:=\{\ast\}$ [/mm] und [mm] $0:=\emptyset$ [/mm] Elemente von [mm] $\Omega$ [/mm] sind. Man setzt [mm] $\operatorname{Wahrheitswert}(\varphi)=\{ w\in\{\ast\}\mid\varphi\}$. [/mm] Das lässt sich konstruktiv einwandfrei hinschreiben und es gilt [mm] $\operatorname{Wahrheitswert}(\varphi)=0\iff\neg\varphi$, $\operatorname{Wahrheitswert}(\varphi)=1\iff\varphi$, [/mm] aber es sind eben potentiell noch mehr Fälle denkbar.
Du kannst also die Abbildung [mm] $P(X)\longrightarrow\Omega^X$, $A\longmapsto\chi_A$ [/mm] hinschreiben, wobei [mm] $\chi_A(x)=\operatorname{Wahrheitswert}("'x\in [/mm] A"')$ und sie ist invers zur Abbildung [mm] $\Omega^X\longrightarrow [/mm] P(X)$, [mm] $\chi\longmapsto\chi^{-1}(\{1\})$. [/mm]

In [mm] $\Omega$ [/mm] geben die üblichen Mengenoperationen [mm] $\cap,\cup,\subseteq,(-)^C,\dots$ [/mm] Anlass zu den logischen Operatoren [mm] $\land,\lor,\implies,\neg,\dots$. [/mm]

Der Satz von Cantor gilt natürlich trotzdem konstruktiv, am besten formuliert man ihn als Fixpunktsatz von Lawvere (der in jedem Topos gilt):

Fixpunktsatz von Lawvere: Es sei [mm] $F\colon X\longrightarrow Y^X$ [/mm] eine surjektive Funktion. Dann besitzt jede Abbildung [mm] $f\colon Y\longrightarrow [/mm] Y$ einen Fixpunkt.
Beweis: Betrachte [mm] $g\colon X\longrightarrow [/mm] Y$, [mm] $x\longmapsto [/mm] f(F(x)(x))$. Es gibt ein [mm] $x_0\in [/mm] X$ mit [mm] $F(x_0)=g$. [/mm] An der Gleichung [mm] $f(F(x_0)(x_0))=g(x_0)=F(x_0)(x_0)$ [/mm] sieht man, dass [mm] $F(x_0)(x_0)$ [/mm] ein Fixpunkt ist.

Satz von Cantor: Es gibt keine surjektive Funktion [mm] $X\longrightarrow\Omega^X$. [/mm]
Beweis: Es ist klar, dass [mm] $\neg\colon\Omega\longrightarrow\Omega$ [/mm] keinen Fixpunkt hat.

Es sollte aber auch der Diagonalisierungsbeweis funktionieren:

Satz von Lawvere/Cantor (mit [mm] $Y=\Omega$): [/mm] Ist [mm] $F\colon X\longrightarrow Y^X$ [/mm] eine Abbildung und [mm] $n\colon Y\longrightarrow [/mm] Y$ eine fixpunktfreie Abbildung, z.B. Negation/Komplementbildung, so ist [mm] $g:x\longmapsto [/mm] n(F(x)(x))$ nicht im Bild von $F$.
Beweis: Für jedes $x$ unterscheiden sich die Abbildungen $F(x)$ und $g$ an der Stelle $x$.

In dieser Form bekommt man ja gerne präsentiert, dass die Menge der Dezimalzahlen zwischen $0$ und $1$ nicht abzählbar ist, indem man [mm] $X=\IN$, $Y=\{0,\dots,9\}$ [/mm] setzt und für $n$ irgendeine beliebige fixpunktfreie Abbildung auf [mm] $\{0,\dots,9\}$ [/mm] hinschreibt.
Unter der Identifikation [mm] $\Omega^X\cong [/mm] P(X)$ ist das konstruierte Element $n(F(x)(x))$ genau [mm] $\{ x\in X \mid x\notin F(x) \}$, [/mm] wie man es gewohnt ist.

Dann passt jedenfalls auch alles andere, was mich verwirrt hatte: Präordnungen sind gar nicht [mm] $\{0,1\}$-angereicherte [/mm] Kategorien, sondern [mm] $\Omega$-angereicherte [/mm] Kategorien, und die Kovervollständigung ist die Menge der Ordnungshomomorphismen [mm] $X^{\operatorname{op}}\longrightarrow\Omega$ [/mm] und die ist vollständig.

Liebe Grüße
UniversellesObjekt

P.S.: Übungsaufgabe, falls du Lust hast: Zeige, dass die Menge der Wahrheitswerte Dedekind-endlich ist.

Bezug
                                
Bezug
Körperbeweis intuitionistisch: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:42 Do 02.11.2017
Autor: tobit09

Ich brauche noch ein wenig Zeit, deinen Beitrag gründlich durchzuarbeiten.

Bis dahin sei dir schon einmal für deine erneute Hilfe gedankt! :-)

Bezug
                
Bezug
Körperbeweis intuitionistisch: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:24 Sa 28.10.2017
Autor: tobit09

Hi Universelles Objekt!

Ganz herzlichen Dank, das hilft mir auf jeden Fall sehr weiter!
Sogar noch mehr als eine Beantwortung meiner ursprünglichen Frage. :-)

Ich brauche jetzt erst einmal noch ein wenig Zeit, alles zu durchdenken.
Dann melde ich mich nochmal.

Viele Grüße
Tobias

Bezug
                
Bezug
Körperbeweis intuitionistisch: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 16:18 Sa 28.10.2017
Autor: tobit09


> - Es gibt viele verschiedene, aber klassisch äquivalente
> Möglichkeiten, was ein Körper in konstruktiver Mathematik
> sein soll. Ein paar findet man
> []hier. Da aber die
> Existenz von Inversen bei dieser Frage hier vermutlich
> keine Rolle spielt, sollte das nicht so wichtig sein.

Danke für den Hinweis.
Damit werde ich mich wahrscheinlich nochmal in Ruhe auseinandersetzen.


> - Von einer nichtleeren beschränkten Menge zu fordern,
> dass sie ein Supremum haben soll, scheint konstruktiv nicht
> sinnvoll. Wenn man klassisch "nichtleer" schreibt, hat man
> konstruktiv meistens
> []bewohnt im
> Kopf, das heißt es gibt ein Element. "Nichtleer" heißt ja
> nur, dass es nicht kein Element gibt.

Danke, das stimmt, auch ich hatte eigentlich "bewohnt" im Kopf.


> - Der (klassisch) einzige vollständig angeordnete Körper
> ist der Körper [mm]\IR[/mm] der reellen Zahlen. Ich habe die
> Vermutung, dass er aber konstruktiv gar nicht vollständig
> angeordnet im üblichen Sinne ist. In der Tat, betrachte
> die Menge [mm]M=\{x\in\IR\mid (x=0)\vee((x=1)\wedge\varphi)\}[/mm],
> wobei [mm]\varphi[/mm] eine Abkürzung für die Kontinuumshypothese
> ist. Diese Menge ist sicherlich bewohnt (insbesondere
> nichtleer), denn es gilt [mm]0\in M[/mm]. Außerdem ist sie nach
> oben beschränkt, denn für alle [mm]x\in M[/mm] gilt [mm]x\le 1[/mm]. Da [mm]M[/mm]
> durch [mm]1[/mm] beschränkt ist, gilt für [mm]s=\sup M[/mm], dass [mm]s\le 1[/mm]...
> Hm, du weißt sicher worauf ich hinaus will, aber ich
> kriege das jetzt gerade nicht zuende gedacht, um
> (konstruktiv) zu entscheiden, dass [mm]\varphi[/mm] oder [mm]\neg\varphi[/mm]
> gilt. Bekommst du es hin? Ich bin mir insbesondere nicht
> ganz sicher, ob ich jetzt annehmen darf, dass [mm]s=1[/mm] oder [mm]s<1[/mm]
> gilt, und außerdem auch nicht ganz sicher, was [mm]s<1[/mm] in den
> reellen Zahlen bedeutet (es gibt einige verschiedene
> Möglichkeiten, eine [mm]<[/mm]-Ordnung auf [mm]\IR[/mm] zu beschreiben).

Selbst abgesehen von dieser Problematik:
Ich kriege nicht einmal konstruktiv gezeigt, dass die Bedingung $sup(M)=1$ die Aussage [mm] $\varphi$ [/mm] impliziert.
Übersehe ich etwas?


> Über deine Frage habe ich jetzt noch gar nicht
> nachgedacht. Wenn du möchtest, kann ich, sofern wir nicht
> weiterkommen, mal bei Ingo Blechschmidt nachfragen.

Danke. Erst einmal kannst du gerne noch abwarten und dir Ingo Blechschmidts Zeit für mögliche wichtigere Fragen aufheben... ;-)


> Ein bisschen üben, konstruktiv zu denken, kann man
> übrigens im Klassiker der konstruktiven Analysis
> Constructive Analysis von Bishop und Bridges.

Auch für den Hinweis herzlichen Dank.
Erst einmal würde ich der Vorlesung von Ingo Blechschmidt Priorität geben, aber vielleicht komme ich ja später mal dazu...

Bezug
                        
Bezug
Körperbeweis intuitionistisch: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:20 So 05.11.2017
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
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