matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenAlgebraische GeometrieKörpererweiterung, Morphismus
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Informatik • Physik • Technik • Biologie • Chemie
Forum "Algebraische Geometrie" - Körpererweiterung, Morphismus
Körpererweiterung, Morphismus < Algebraische Geometrie < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Algebraische Geometrie"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Körpererweiterung, Morphismus: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:44 Mi 08.02.2012
Autor: flipflop

Aufgabe
Bemerkung: Es sei [mm] \varphi: [/mm] X [mm] \to [/mm] Y ein dominanter Morphismus irreduzibler affiner Varietäten gleicher Dimension. Dann hat man [mm] \IK(Y) \cong \varphi^{\ast}(\IK(Y)) \subseteq \IK(X). [/mm] Die Körpererweiterung [mm] \varphi^{\ast}(\IK(Y)) \subseteq \IK(X) [/mm] ist dabei endlich erzeugt und algebraisch.

[mm] (\varphi^{\ast} [/mm] bezeichnet den zugehörigen Komorphismus [mm] \varphi^{\ast}: \IK(Y) \to \IK(X) [/mm] )

Hallo,
leider komme ich mit der obigen Bemerkung nicht zurecht - ich schreibe jetzt mal auf, was mir so dazu einfällt:

zu algebraisch:
Es gilt [mm] trdeg_{\IK}(\varphi^{\ast}(\IK(Y))=trdeg_{\IK}(\IK(Y))=trdeg_{\IK}(\IK(X)). [/mm] Wir haben einen Körperturm [mm] \IK \subseteq \varphi^{\ast}(\IK(Y)) \subseteq \IK(X). [/mm] Deshalb gilt [mm] trdeg_{\IK}(\IK(X))=trdeg_{\IK}(\varphi^{\ast}(\IK(Y))+trdeg_{\varphi^{\ast}(\IK(Y)}(\IK(X)). [/mm] Also folgt [mm] trdeg_{\varphi^{\ast}(\IK(Y)}(\IK(X)) [/mm] =0 und somit ist [mm] \varphi^{\ast}(\IK(Y)) \subseteq \IK(X) [/mm] algebraisch.
Stimmt das so?

zu endlich erzeugt:
hier habe ich leider überhaupt keinen Ansatz. Das einzige, was mir noch einfällt, ist, dass [mm] \varphi^{\ast} [/mm] injektiv ist, weil [mm] \varphi [/mm] dominant ist...

Es wäre prima, wenn mir jemand weiterhelfen könnte - vielen Dank schonmal...

lg flipflop

        
Bezug
Körpererweiterung, Morphismus: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:42 Sa 11.02.2012
Autor: felixf

Moin flipflop!

> Bemerkung: Es sei [mm]\varphi:[/mm] X [mm]\to[/mm] Y ein dominanter
> Morphismus irreduzibler affiner Varietäten gleicher
> Dimension. Dann hat man [mm]\IK(Y) \cong \varphi^{\ast}(\IK(Y)) \subseteq \IK(X).[/mm]
> Die Körpererweiterung [mm]\varphi^{\ast}(\IK(Y)) \subseteq \IK(X)[/mm]
> ist dabei endlich erzeugt und algebraisch.
>  
> [mm](\varphi^{\ast}[/mm] bezeichnet den zugehörigen Komorphismus
> [mm]\varphi^{\ast}: \IK(Y) \to \IK(X)[/mm] )
>
>  Hallo,
>  leider komme ich mit der obigen Bemerkung nicht zurecht -
> ich schreibe jetzt mal auf, was mir so dazu einfällt:
>  
> zu algebraisch:
>  Es gilt
> [mm]trdeg_{\IK}(\varphi^{\ast}(\IK(Y))=trdeg_{\IK}(\IK(Y))=trdeg_{\IK}(\IK(X)).[/mm]
> Wir haben einen Körperturm [mm]\IK \subseteq \varphi^{\ast}(\IK(Y)) \subseteq \IK(X).[/mm]
> Deshalb gilt
> [mm]trdeg_{\IK}(\IK(X))=trdeg_{\IK}(\varphi^{\ast}(\IK(Y))+trdeg_{\varphi^{\ast}(\IK(Y)}(\IK(X)).[/mm]
> Also folgt [mm]trdeg_{\varphi^{\ast}(\IK(Y)}(\IK(X))[/mm] =0 und
> somit ist [mm]\varphi^{\ast}(\IK(Y)) \subseteq \IK(X)[/mm]
> algebraisch.
>  Stimmt das so?

Ja.

> zu endlich erzeugt:
>  hier habe ich leider überhaupt keinen Ansatz. Das
> einzige, was mir noch einfällt, ist, dass [mm]\varphi^{\ast}[/mm]
> injektiv ist, weil [mm]\varphi[/mm] dominant ist...

Das stimmt nicht. Wenn es [mm] $\varphi^\ast$ [/mm] gibt, ist es automatisch injektiv als Homomorphismus zwischen Koerpern.

Du brauchst dominant, damit es [mm] $\varphi^\ast [/mm] : [mm] \IK(Y) \to \IK(X)$ [/mm] ueberhaupt gibt.

Wenn es nicht dominant ist, bekommst du nur einen Homomorphismus zwischen den Strukturgarben bzw. den Koordinatenringen.

Dass [mm] $\IK(X)$ [/mm] endlich erzeugt ueber [mm] $\varphi^*(\IK(Y))$ [/mm] ist folgt daraus, dass [mm] $\IK(X)$ [/mm] ueber [mm] $\IK$ [/mm] endlich erzeugt ist (als Koerper!) und somit auch ueber [mm] $\varphi^*(\IK(Y))$. [/mm]

Um das nachzuvollziehen musst du dir die Definition von [mm] $\IK(X)$ [/mm] genauer anschauen.

LG Felix


Bezug
                
Bezug
Körpererweiterung, Morphismus: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:15 Di 14.02.2012
Autor: flipflop

Hallo Felix,
vielen Dank für deine Antwort! (Ich melde mich erst jetzt, weil ich krank war :-( )

zu algebraisch: Leider ist mir meine eigene Lösung gerade nicht mehr klar - warum gilt denn [mm] \IK \subseteq \varphi^{\ast}(\IK(Y))? [/mm]

zu endlich erzeugt: Danke für die Korrektur und den Tipp! Mein Versuch:
[mm] \IK(X) [/mm] ist der Quotientenkörper von [mm] \mathcal{O}_X(X). [/mm]
[mm] \mathcal{O}_X(X) [/mm] ist eine affine [mm] \IK [/mm] -Algebra, d.h. [mm] \mathcal{O}_X(X)=\IK[f_1, \dots f_r] [/mm] mit [mm] f_i \in \mathcal{O}_X(X). [/mm] Also ist [mm] \IK(X) [/mm] = [mm] \IK (\bruch{f_1}{1}, \dots, \bruch{f_r}{1}) [/mm] und somit auch [mm] \IK(X) [/mm] = [mm] \varphi ^{\ast}(\IK(Y)) (\bruch{f_1}{1}, \dots, \bruch{f_r}{1}). [/mm]

Lg flipflop


Bezug
                        
Bezug
Körpererweiterung, Morphismus: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 01:25 Do 16.02.2012
Autor: Berieux

Hi!

> Hallo Felix,
>  vielen Dank für deine Antwort! (Ich melde mich erst
> jetzt, weil ich krank war :-( )
>  
> zu algebraisch: Leider ist mir meine eigene Lösung gerade
> nicht mehr klar - warum gilt denn [mm]\IK \subseteq \varphi^{\ast}(\IK(Y))?[/mm]
>  

[mm]\varphi^{\ast}[/mm] auf K eingeschränkt ist doch die Identität.
Und da die Varietäten dieselbe Dimension haben, ist [mm]tredeg_{K}K(Y)=trdeg_{K}K(X)[/mm]. Deshalb ist deine Argumentation so wie sie im ersten Post steht richtig.

> zu endlich erzeugt: Danke für die Korrektur und den Tipp!
> Mein Versuch:
>  [mm]\IK(X)[/mm] ist der Quotientenkörper von [mm]\mathcal{O}_X(X).[/mm]
> [mm]\mathcal{O}_X(X)[/mm] ist eine affine [mm]\IK[/mm] -Algebra, d.h.
> [mm]\mathcal{O}_X(X)=\IK[f_1, \dots f_r][/mm] mit [mm]f_i \in \mathcal{O}_X(X).[/mm]
> Also ist [mm]\IK(X)[/mm] = [mm]\IK (\bruch{f_1}{1}, \dots, \bruch{f_r}{1})[/mm]
> und somit auch [mm]\IK(X)[/mm] = [mm]\varphi ^{\ast}(\IK(Y)) (\bruch{f_1}{1}, \dots, \bruch{f_r}{1}).[/mm]
>  

Ja.

Viele Grüße,
Berieux

> Lg flipflop
>  


Bezug
                                
Bezug
Körpererweiterung, Morphismus: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:56 Do 16.02.2012
Autor: flipflop

Hallo Berieux,
vielen Dank!
Liebe Grüße, flipflop

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Algebraische Geometrie"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]